Feladat: Gy.2733 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Maróti Gábor 
Füzet: 1992/november, 379. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Párhuzamos szelők tétele, Háromszög területe, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/november: Gy.2733

Egy hegyesszögű háromszögbe négyzetet írunk oly módon, hogy csúcsai a háromszög oldalaira essenek. Bizonyítsuk be, hogy akkor kapjuk a legkisebb négyzetet, ha annak egyik oldala a háromszög legnagyobb oldalára illeszkedik.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a háromszög hegyesszögű, ezért a négyzet egyik csúcsa sem eshet egybe a háromszög valamelyik csúcsával. A négyzet négy csúcsa közül kettőnek a háromszög ugyanazon oldalára kell illeszkednie, és ez a két csúcs a négyzet két szomszédos csúcsa kell hogy legyen. Ezért a négyzet csak az 1. ábrán látható módon helyezkedhet el a háromszögben.

 
 

1. ábra
 

Jelöljük a háromszög csúcsait, oldalait és magasságszakaszait a szokásos módon A, B, C, a, b, c, ma, mb, mc-vel. Az a oldalon álló négyzet oldalát jelöljük xa-val, csúcsait pedig D, E, F, G-vel (2. ábra).
 
 

2. ábra
 

DG párhuzamos BC-vel, ezért a párhuzamos szelők tétele szerint xaa=ADAB. A DE oldal pedig az A csúcshoz tartozó magassággal párhuzamos, ezért szintén a szelőtételt alkalmazva: xama=DBAB. E két egyenlőséget összeadva:
xaa+xama=ADAB+DBAB=1,vagyisxa=amaa+ma.
(Ugyanígy számíthatjuk ki a b, illetve a c oldalon álló négyzet oldalának hosszát.) Elég megmutatnunk, hogy ha például ab, akkor xaxb, vagyis:
amaa+mabmbb+mb.
Tudjuk, hogy ha a háromszög területe T, akkor ama=bmb=2T.
b+mba+ma,azaz0a-b+ma-mb=a-b+2Ta-2Tb=(a-b)(ab-2Tab).


Viszont b>ma, ezért ab>2T, tehát mindkét jobb oldali tényező nemnegatív.