Kezdőlap


Feladat:	Gy.2733	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Maróti Gábor
Füzet:	1992/november, 379. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Párhuzamos szelők tétele, Háromszög területe, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/november: Gy.2733

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a háromszög hegyesszögű, ezért a négyzet egyik csúcsa sem eshet egybe a háromszög valamelyik csúcsával. A négyzet négy csúcsa közül kettőnek a háromszög ugyanazon oldalára kell illeszkednie, és ez a két csúcs a négyzet két szomszédos csúcsa kell hogy legyen. Ezért a négyzet csak az 1. ábrán látható módon helyezkedhet el a háromszögben.

1. ábra

Jelöljük a háromszög csúcsait, oldalait és magasságszakaszait a szokásos módon

A

B

C

a

b

c

m_{a}

m_{b}

m_{c}

-vel. Az

a

oldalon álló négyzet oldalát jelöljük

x_{a}

-val, csúcsait pedig

D

E

F

G

-vel (2. ábra).

2. ábra

D G

párhuzamos

B C

-vel, ezért a párhuzamos szelők tétele szerint

\frac{x_{a}}{a} = \frac{A D}{A B}

. A

D E

oldal pedig az

A

csúcshoz tartozó magassággal párhuzamos, ezért szintén a szelőtételt alkalmazva:

\frac{x_{a}}{m_{a}} = \frac{D B}{A B}

. E két egyenlőséget összeadva:

\begin{matrix} \frac{x_{a}}{a} + \frac{x_{a}}{m_{a}} = \frac{A D}{A B} + \frac{D B}{A B} = 1, vagyis x_{a} = \frac{a \cdot m_{a}}{a + m_{a}} . \end{matrix}

(Ugyanígy számíthatjuk ki a

b

, illetve a

c

oldalon álló négyzet oldalának hosszát.) Elég megmutatnunk, hogy ha például

a \geq b

, akkor

x_{a} \leq x_{b}

, vagyis:

\begin{matrix} \frac{a m_{a}}{a + m_{a}} \leq \frac{b m_{b}}{b + m_{b}} . \end{matrix}

Tudjuk, hogy ha a háromszög területe

T

, akkor

a \cdot m_{a} = b m_{b} = 2 T .

\begin{matrix} b + m_{b} \leq a + m_{a}, azaz \\ 0 \leq a - b + m_{a} - m_{b} = a - b + \frac{2 T}{a} - \frac{2 T}{b} = (a - b) (\frac{a b - 2 T}{a b}) . \end{matrix}

Viszont

b > m_{a}

, ezért

a b > 2 T

, tehát mindkét jobb oldali tényező nemnegatív.