Feladat: Gy.2732 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1993/február, 69 - 70. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Pont körre vonatkozó hatványa, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/november: Gy.2732

Egy derékszögű háromszög beírt köre átmegy a háromszög súlypontján. Mekkorák a háromszög hegyesszögei?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a háromszög átfogójának a felezőpontja F, és használjuk az ábra további jelöléseit is. A C csúcs körül CE=CH sugárral húzott kör a belsejében tartalmazza a CF súlyvonal és a beírt kör C-hez közelebbi N metszéspontját, így

CN<CE=a+b-c2a2+b22-c2=c(12-12)<c3=23CF.

 
 

Mivel a háromszög derékszögű, és M a súlypontja, azért CM=23CF=c3.
Írjuk fel először a C, majd az F pontnak a beírt körre vonatkozó hatványát a szelőtétel felhasználásával:
CNc3=(a+b-c2)2,(1)

c6(c2-CN)=FG2=(b-a2)2.(2)
Az (1) egyenletet a (2) kétszereséhez adva:
c26=(b-a)22+(a+b-c2)2.
Mindkét oldalt 12c2-tel szorozva:
2=6(sinβ-cosβ)2+3(cosβ+sinβ-1)2,6(cosβ+sinβ)=-3sin2β+10.


Itt mindkét oldal a β hegyesszög bármely értékére pozitív, így négyzetreemeléssel az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk:
36(1+sin2β)=9sin22β-60sin2β+100.
A sin2β-ra kapott másodfokú egyenlet 0 és 1 közé eső megoldása sin2β=16-833, tehát a keresett hegyesszögek: 22,8 és 67,2.