Kezdőlap


Feladat:	Gy.2732	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1993/február, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Pont körre vonatkozó hatványa, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/november: Gy.2732

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a háromszög átfogójának a felezőpontja $F$ , és használjuk az ábra további jelöléseit is. A $C$ csúcs körül $C E = C H$ sugárral húzott kör a belsejében tartalmazza a $C F$ súlyvonal és a beírt kör $C$ -hez közelebbi $N$ metszéspontját, így

\begin{matrix} C N < C E = \frac{a + b - c}{2} ⩽ \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} - \frac{c}{2} = c (\frac{1}{\sqrt[]{2}} - \frac{1}{2}) < \frac{c}{3} = \frac{2}{3} C F . \end{matrix}

Mivel a háromszög derékszögű, és

M

a súlypontja, azért

C M = \frac{2}{3} C F = \frac{c}{3}

.
Írjuk fel először a

C

, majd az

F

pontnak a beírt körre vonatkozó hatványát a szelőtétel felhasználásával:

\begin{matrix} C N \cdot \frac{c}{3} = {(\frac{a + b - c}{2})}^{2}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} \frac{c}{6} (\frac{c}{2} - C N) = F G^{2} = {(\frac{b - a}{2})}^{2} . \end{matrix}

(2)

Az (1) egyenletet a (2) kétszereséhez adva:

\begin{matrix} \frac{c^{2}}{6} = \frac{{(b - a)}^{2}}{2} + {(\frac{a + b - c}{2})}^{2} . \end{matrix}

Mindkét oldalt

\frac{12}{c^{2}}

-tel szorozva:

\begin{matrix} 2 = 6 {(sin β - cos β)}^{2} + 3 {(cos β + sin β - 1)}^{2}, \\ 6 (cos β + sin β) = - 3 sin 2 β + 10. \end{matrix}

Itt mindkét oldal a

β

hegyesszög bármely értékére pozitív, így négyzetreemeléssel az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} 36 (1 + sin 2 β) = 9 sin^{2} 2 β - 60 sin 2 β + 100. \end{matrix}

sin 2 β

-ra kapott másodfokú egyenlet

0

és

1

közé eső megoldása

sin 2 β = \frac{16 - 8 \sqrt[]{3}}{3}

, tehát a keresett hegyesszögek:

22, 8^{\circ}

és

67, 2^{\circ} .