Feladat: Gy.2730 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi Gergely ,  Dőtsch András ,  Gröller Ákos ,  György András ,  Herczeg Anna ,  Hertz István ,  Huszár Edina ,  Keresztessy Zita ,  Koblinger Egmont ,  Kovács Baldvin ,  Németh Zoltán ,  Rákóczi Bálint ,  Rónai András Gábor ,  Timár Ádám ,  Valkó Benedek ,  Veres Tibor 
Füzet: 1992/november, 377 - 378. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Körérintési szerkesztések, Apollóniusz-kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/november: Gy.2730

Három páronként egymáson kívül elhelyezkedő körhöz szerkesszünk olyan pontot, amelyből mindhárom kör ugyanakkora szögben látszik.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a körök sugarai r1, r2, r3, középpontjaik pedig O1, O2 és O3. Először azon pontok halmazát határozzuk meg, amelyekből két kör egyenlő szögben látszik.

 
 

1. ábra
 

Tegyük fel, hogy a P pontból az O1 és az O2 középpontú körök egyenlő szögben látszanak. Legyenek a P-ből a körökhöz húzott érintők érintési pontjai E11, E12, E21 és E22 (1. ábra). Ekkor E11PE12=E21PE22, és mivel O1P és O2P ezen szögek felezői, azért O1PE11=O2PE21. Így az O1E11P és az O2E21P derékszögű háromszögek hasonlóak. A megfelelő oldalaik aránya:
O1PO2P=O1E11O2E21=r1r2.(1)
Könnyen látható, hogy P-ből pontosan akkor látszik egyenlő szögben a két kör, ha (1) teljesül. Ez viszont éppen azt jelenti, hogy P rajta van az O1 és O2 pontokhoz és az r1:r2 arányhoz tartozó Apollóniusz-körön (r1=r2 esetén O1O2 szakaszfelező merőlegesén).
 
 

2. ábra
 

Ezek alapján a keresett pont megszerkesztése már egyszerű: az O1 és O2 pontokhoz és az r1:r2 arányhoz, valamint az O2 és O3 pontokhoz és az r2:r3 arányhoz tartozó Apollóniusz-körök metszéspontjai lesznek a keresett pontok (ezekre az R pontokra O1RO2R=r1r2 és O2RO3R=r2r3 miatt O1RO3R=r1r3 is teljesül, vagyis ezek illeszkednek az O1 és O3 pontokhoz és az r1:r3 arányhoz tartozó Apollóniusz-körre is.)
A megoldások száma 2, 1 vagy 0, attól függően, hogy a két körnek (szakaszfelező merőlegesnek) hány közös pontja van.