Kezdőlap


Feladat:	Gy.2730	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dombi Gergely , Dőtsch András , Gröller Ákos , György András , Herczeg Anna , Hertz István , Huszár Edina , Keresztessy Zita , Koblinger Egmont , Kovács Baldvin , Németh Zoltán , Rákóczi Bálint , Rónai András Gábor , Timár Ádám , Valkó Benedek , Veres Tibor
Füzet:	1992/november, 377 - 378. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Körérintési szerkesztések, Apollóniusz-kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/november: Gy.2730

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a körök sugarai $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ , középpontjaik pedig $O_{1}$ , $O_{2}$ és $O_{3}$ . Először azon pontok halmazát határozzuk meg, amelyekből két kör egyenlő szögben látszik.

1. ábra

Tegyük fel, hogy a

P

pontból az

O_{1}

és az

O_{2}

középpontú körök egyenlő szögben látszanak. Legyenek a

P

-ből a körökhöz húzott érintők érintési pontjai

E_{1}^{1}

E_{1}^{2}

E_{2}^{1}

és

E_{2}^{2}

(1. ábra). Ekkor

E_{1}^{1} P E_{1}^{2} ∢ = E_{2}^{1} P E_{2}^{2} ∢

, és mivel

O_{1} P

és

O_{2} P

ezen szögek felezői, azért

O_{1} P E_{1}^{1} ∢ = O_{2} P E_{2}^{1} ∢

. Így az

O_{1} E_{1}^{1} P

és az

O_{2} E_{2}^{1} P

derékszögű háromszögek hasonlóak. A megfelelő oldalaik aránya:

\begin{matrix} \frac{O_{1} P}{O_{2} P} = \frac{O_{1} E_{1}^{1}}{O_{2} E_{2}^{1}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} . \end{matrix}

(1)

Könnyen látható, hogy

P

-ből pontosan akkor látszik egyenlő szögben a két kör, ha (1) teljesül. Ez viszont éppen azt jelenti, hogy

P

rajta van az

O_{1}

és

O_{2}

pontokhoz és az

r_{1} : r_{2}

arányhoz tartozó Apollóniusz-körön (

r_{1} = r_{2}

esetén

O_{1} O_{2}

szakaszfelező merőlegesén).

2. ábra

Ezek alapján a keresett pont megszerkesztése már egyszerű: az

O_{1}

és

O_{2}

pontokhoz és az

r_{1} : r_{2}

arányhoz, valamint az

O_{2}

és

O_{3}

pontokhoz és az

r_{2} : r_{3}

arányhoz tartozó Apollóniusz-körök metszéspontjai lesznek a keresett pontok (ezekre az

R

pontokra

\frac{O_{1} R}{O_{2} R} = \frac{r_{1}}{r_{2}}

és

\frac{O_{2} R}{O_{3} R} = \frac{r_{2}}{r_{3}}

miatt

\frac{O_{1} R}{O_{3} R} = \frac{r_{1}}{r_{3}}

is teljesül, vagyis ezek illeszkednek az

O_{1}

és

O_{3}

pontokhoz és az

r_{1} : r_{3}

arányhoz tartozó Apollóniusz-körre is.)
A megoldások száma

2

1

vagy

0

, attól függően, hogy a két körnek (szakaszfelező merőlegesnek) hány közös pontja van.