Feladat: Gy.2727 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Cs. Kovács Ferenc ,  Dienes Péter ,  Dombi Gergely ,  Dőtsch András ,  Érik Róbert ,  Falusi István ,  György András ,  Horváth Ákos ,  Róka Dániel ,  Szendrei Tamás ,  Szeredi Tibor 
Füzet: 1992/április, 162 - 163. oldal  PDF file
Témakör(ök): Műveletek polinomokkal, Polinomok, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/november: Gy.2727

Mutassunk olyan p nem azonosan nulla polinomot, amelyre az
(x-1)p(x+1)-(x+2)p(x)
kifejezés értéke x-től függetlenül mindig nulla.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az

(x-1)p(x+1)=(x+2)p(x)
egyenlőségnek minden x-re teljesülnie kell, így a következő speciális értékekre is: x=1, ekkor 0=3p(1), azaz p(1)=0;x=-2, ebből -3p(-1)=0, tehát p(-1)=0; továbbá x=-1, erre -2p(0)=p(-1)=0, azaz p(0)=0 adódik.
Ezek szerint a p(x) polinom
(x-1)x(x+1)g(x)
alakú. Ezt behelyettesítve
(x-1)x(x+1)(x+2)g(x+1)=(x+2)(x-1)x(x+1)g(x)
alapján g(x)=g(x+1) kell, hogy fennálljon minden (1,0,-1,2-től különböző) x-re, s az összes ilyen (nem azonosan nulla) g jó is. Így például a konstans g(x)=a polinomot véve (a0),p(x)=a(x-1)x(x+1)=ax3-ax megfelelő.
 
Megjegyzés. Könnyen látható, hogy a fenti g(x+1)=g(x) feltételnek csak a konstans polinomok tesznek eleget. Valóban, legyen g(x)=anxn+an-1xn-1+...+a0, ahol n1,an0. Ekkor
g(x+1)=an(x+1)n+...+a0=anxn+an(n1)xn-1+......+an+an-1xn-1+an-1(n-11)xn-2+...+an-1+...+a0==anxn+(an(n1)+an-1)xn-1+...+(an+an-1+...+a0).


Mivel an0 és n1, így an-1an(n1)+an-1 miatt g(x)g(x+1), hiszen két polinom pontosan akkor egyenlő, ha minden együtthatójuk egyenlő. Tehát, ha g(x)a, akkor nem teljesülhet rá ez a feltétel.