Kezdőlap


Feladat:	Gy.2727	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cs. Kovács Ferenc , Dienes Péter , Dombi Gergely , Dőtsch András , Érik Róbert , Falusi István , György András , Horváth Ákos , Róka Dániel , Szendrei Tamás , Szeredi Tibor
Füzet:	1992/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Polinomok, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/november: Gy.2727

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az

\begin{matrix} (x - 1) \cdot p (x + 1) = (x + 2) \cdot p (x) \end{matrix}

egyenlőségnek minden

x

-re teljesülnie kell, így a következő speciális értékekre is:

x = 1

, ekkor

0 = 3 \cdot p (1)

, azaz

p (1) = 0; x = - 2

, ebből

- 3 \cdot p (- 1) = 0

, tehát

p (- 1) = 0

; továbbá

x = - 1

, erre

- 2 \cdot p (0) = p (- 1) = 0

, azaz

p (0) = 0

adódik.
Ezek szerint a

p (x)

polinom

\begin{matrix} (x - 1) x (x + 1) g (x) \end{matrix}

alakú. Ezt behelyettesítve

\begin{matrix} (x - 1) x (x + 1) (x + 2) \cdot g (x + 1) = (x + 2) \cdot (x - 1) x (x + 1) \cdot g (x) \end{matrix}

alapján

g (x) = g (x + 1)

kell, hogy fennálljon minden (

1, 0, - 1, 2

-től különböző)

x

-re, s az összes ilyen (nem azonosan nulla)

g

jó is. Így például a konstans

g (x) = a

polinomot véve

(a \neq 0), p (x) = a (x - 1) x (x + 1) = a x^{3} - a x

megfelelő.

Megjegyzés. Könnyen látható, hogy a fenti

g (x + 1) = g (x)

feltételnek csak a konstans polinomok tesznek eleget. Valóban, legyen

g (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + ... + a_{0}

, ahol

n \geq 1, a_{n} \neq 0

. Ekkor

\begin{matrix} g (x + 1) = a_{n} {(x + 1)}^{n} + ... + a_{0} = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n} \cdot (\binom{n}{1}) \cdot x^{n - 1} + ... \\ ... + a_{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + a_{n - 1} (\binom{n - 1}{1}) x^{n - 2} + ... + a_{n - 1} + ... + a_{0} = \\ = a_{n} \cdot x^{n} + (a_{n} \cdot (\binom{n}{1}) + a_{n - 1}) \cdot x^{n - 1} + ... + (a_{n} + a_{n - 1} + ... + a_{0}) . \end{matrix}

Mivel

a_{n} \neq 0

és

n \geq 1

, így

a_{n - 1} \neq a_{n} \cdot (\binom{n}{1}) + a_{n - 1}

miatt

g (x) \neq g (x + 1)

, hiszen két polinom pontosan akkor egyenlő, ha minden együtthatójuk egyenlő. Tehát, ha

g (x) \neq a

, akkor nem teljesülhet rá ez a feltétel.