Feladat: Gy.2707 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balás Elemér ,  Csikai Szabolcs ,  Csorba Péter ,  Faragó Gergely ,  Galambos István ,  Gefferth András ,  Győrffy Werner ,  Kálmán Tamás ,  Kóczy László ,  Markót Mihály ,  Marx Gábor ,  Molnár-Sáska Gábor ,  Szántó András ,  Tichler Krisztián ,  Tomán Henrietta 
Füzet: 1992/március, 112 - 113. oldal  PDF file
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Téglalapok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/május: Gy.2707

Egy paralelogramma oldalai a és b. Mekkorák annak a négyszögnek az átlói, amelyet a paralelogramma szögfelezői alkotnak?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A paralelogramma középpontosan szimmetrikus, ezért a szemközti csúcsokhoz tartozó belső szögfelezők egymás tükörképei, tehát párhuzamosak. Így az EFGH négyszög is paralelogramma.

 
 

 Továbbá HAD+HDA=12(BAD+ABC)=12180=90, azaz AHD=180-(HAD+HDA)=90. Tehát EFGH derékszögű paralelogramma, vagyis téglalap. A téglalap két átlója egyenlő hosszú, ezért elegendő pl. a HF átló hosszát meghatároznunk.
A H pont illeszkedik mind az A, mind a D csúcshoz tartozó belső szögfelezőre, ezért H egyenlő messze van az AB és az AD, valamint az AD és a DC oldalaktól, és így H rajta van a paralelogramma AB és CD oldalaival párhuzamos középvonalán. A szimmetria miatt ugyanez az F pontról is elmondható, ezért HFCD. Mivel azonban HSFC azért HFCS paralelogramma, HF=SC=DC-DS. Viszont DS=DA, mert a DAS háromszög egyenlő szárú, hiszen DSA=SAB (váltószögek), DAS=SAB (AS szögfelező). Tehát HF=DC-DA, vagyis az EFGH négyszög átlóinak hossza megegyezik az ABCD paralelogramma két szomszédos oldalának különbségével, |a-b|-vel.