Kezdőlap


Feladat:	Gy.2629	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát János , Cservenyák Ágnes , Csihony Szilárd , Elek Márta , Fischer Ferdinánd , Gacsályi Zsolt , Győry Máté , Harcos Gergely , Hatvani Olivér , Kállai Gábor , Kerekes Balázs , Kerekes Gizella , Komócsin Laura , Marincsák Ilona , Matolcsi Máté , Molnár-Sáska Gábor , Nemes Bertalan , Oláh Szabolcs , Risbjerg Anna , Szendrei Tamás , Szendrői Balázs , Szoboszlai Beáta , Tóth Krisztina , Ungár György , Virág Bálint , Zámborszky Ferenc
Füzet:	1991/február, 72 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Alakzatba írt kör, Derékszögű háromszögek geometriája, Háromszögek nevezetes tételei, Magasságvonal, Terület, felszín, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/április: Gy.2629

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon $a$ , $b$ , $c$ -vel, területét $T$ -vel, beírt körének a sugarát $ϱ$ -val. Legyen az $A$ -ból induló magasságvonal talppontja $M$ , a beírt körnek a $B C$ oldalon lévő érintési pontja pedig $K$ . Választhatjuk úgy a jelölést, hogy $c > b$ teljesüljön. (Ha $c = b$ akkor az $O A_{1}$ és az $A M$ egyenesek egybeesnek, az $E$ pont nem egyértelmű, állításunk semmitmondó.)

1. ábra

Először megmutatjuk, hogy

M A_{1} = \frac{c^{2} - b^{2}}{2 a}

. Ha a

C

csúcsnál lévő szög hegyesszög, akkor

M

C A_{1}

szakasz belső pontja, tehát

M A_{1} = C A_{1} - C M

(1. ábra). Az

A M C

és

A M B

derékszögű háromszögekben Pitagorasz tétele szerint

b^{2} - C M^{2} = A M^{2} = c^{2} - {(a - C M)}^{2}

. Ezekből az egyenletekből kapjuk, hogy

\begin{matrix} C M = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} M A_{1} = \frac{a}{2} - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a} = \frac{c^{2} - b^{2}}{2 a} . \end{matrix}

2. ábra

Ha a

C

csúcsnál lévő szög tompaszög vagy derékszög, akkor

C

A_{1} M

szakasz belső pontja lévén

M A_{1} = C A_{1} + C M

(2. ábra). Az

A M C

és

A M B

derékszögű háromszögekből:

b^{2} - C M^{2} = A M^{2} = c^{2} - {(a + C M)}^{2}

, innen

C M = \frac{c^{2} - a^{2} - b^{2}}{2 a}

. Tehát ekkor is

\begin{matrix} M A_{1} = \frac{a}{2} + \frac{c^{2} - a^{2} - b^{2}}{2 a} = \frac{c^{2} - b^{2}}{2 a} . \end{matrix}

O K

és

E M

szakaszok párhuzamosak, hiszen mindkettő merőleges

B C

-re. Ezért az

A_{1} E M

és az

A_{1} O K

háromszögek hasonlóak, így

\frac{E M}{O K} = \frac{A_{1} M}{A_{1} K}

, vagyis

E M = \frac{A_{1} M}{A_{1} K} \cdot O K

. Ismeretes (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I. 642. és 1470. feladat), hogy

A_{1} K = A_{1} C - K C = \frac{a}{2} - \frac{a + b - c}{2} = \frac{c - b}{2}

és

O K = ϱ = \frac{2 T}{a + b + c}

, ezekkel pedig

\begin{matrix} E M = \frac{\frac{c^{2} - b^{2}}{2 a}}{\frac{c - b}{2}} \cdot \frac{2 T}{a + b + c} = \frac{2 (c + b) \cdot T}{a (a + b + c)} . \end{matrix}

Másrészt a

B C

oldalhoz tartozó magasság az ismert területképlet szerint:

\begin{matrix} A M = \frac{2 T}{a} . \end{matrix}

Tehát:

\begin{matrix} A E = A M - E M = \frac{2 T (a + b + c)}{a (a + b + c)} - \frac{2 T (b + c)}{a (a + b + c)} = \frac{2 T}{a + b + c} = ϱ . \end{matrix}

Szendrei Tamás (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján