Feladat: Gy.2629 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barát János ,  Cservenyák Ágnes ,  Csihony Szilárd ,  Elek Márta ,  Fischer Ferdinánd ,  Gacsályi Zsolt ,  Győry Máté ,  Harcos Gergely ,  Hatvani Olivér ,  Kállai Gábor ,  Kerekes Balázs ,  Kerekes Gizella ,  Komócsin Laura ,  Marincsák Ilona ,  Matolcsi Máté ,  Molnár-Sáska Gábor ,  Nemes Bertalan ,  Oláh Szabolcs ,  Risbjerg Anna ,  Szendrei Tamás ,  Szendrői Balázs ,  Szoboszlai Beáta ,  Tóth Krisztina ,  Ungár György ,  Virág Bálint ,  Zámborszky Ferenc 
Füzet: 1991/február, 72 - 74. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Alakzatba írt kör, Derékszögű háromszögek geometriája, Háromszögek nevezetes tételei, Magasságvonal, Terület, felszín, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/április: Gy.2629

Az ABC háromszög BC oldalának felezőpontja A1, beírt körének középpontja O. Az A1O egyenes az A-ból induló magasságvonalat az E pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az AE szakasz hossza egyenlő a beírt kör sugarával.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon a, b, c-vel, területét T-vel, beírt körének a sugarát ϱ-val. Legyen az A-ból induló magasságvonal talppontja M, a beírt körnek a BC oldalon lévő érintési pontja pedig K. Választhatjuk úgy a jelölést, hogy c>b teljesüljön. (Ha c=b akkor az OA1 és az AM egyenesek egybeesnek, az E pont nem egyértelmű, állításunk semmitmondó.)

 
 

1. ábra
 

Először megmutatjuk, hogy MA1=c2-b22a. Ha a C csúcsnál lévő szög hegyesszög, akkor M a CA1 szakasz belső pontja, tehát MA1=CA1-CM (1. ábra). Az AMC és AMB derékszögű háromszögekben Pitagorasz tétele szerint b2-CM2=AM2=c2-(a-CM)2. Ezekből az egyenletekből kapjuk, hogy
CM=a2+b2-c22a,
tehát
MA1=a2-a2+b2-c22a=c2-b22a.

 
 

2. ábra
 

Ha a C csúcsnál lévő szög tompaszög vagy derékszög, akkor C az A1M szakasz belső pontja lévén MA1=CA1+CM (2. ábra). Az AMC és AMB derékszögű háromszögekből: b2-CM2=AM2=c2-(a+CM)2, innen CM=c2-a2-b22a. Tehát ekkor is
MA1=a2+c2-a2-b22a=c2-b22a.

Az OK és EM szakaszok párhuzamosak, hiszen mindkettő merőleges BC-re. Ezért az A1EM és az A1OK háromszögek hasonlóak, így EMOK=A1MA1K, vagyis EM=A1MA1KOK. Ismeretes (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I. 642. és 1470. feladat), hogy A1K=A1C-KC=a2-a+b-c2=c-b2 és OK=ϱ=2Ta+b+c, ezekkel pedig
EM=c2-b22ac-b22Ta+b+c=2(c+b)Ta(a+b+c).

Másrészt a BC oldalhoz tartozó magasság az ismert területképlet szerint:
AM=2Ta.

Tehát:
AE=AM-EM=2T(a+b+c)a(a+b+c)-2T(b+c)a(a+b+c)=2Ta+b+c=ϱ.

 

 Szendrei Tamás (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján