Kezdőlap


Feladat:	Gy.2626	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Matolcsi Máté , Molnár-Sáska Gábor
Füzet:	1991/március, 115 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/április: Gy.2626

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $r$ tetszőleges valós szám, és legyen

\begin{matrix} x = \frac{r^{2} - 2 r}{r^{2} - r + 1}; y = \frac{r^{2} - 1}{r^{2} - r + 1} . \end{matrix}

(1)

Ekkor a könnyű számolással kapható

\begin{matrix} {(r^{2} - 2 r)}^{2} - (r^{2} - 2 r) (r^{2} - 1) + {(r^{2} - 1)}^{2} = {(r^{2} - r + 1)}^{2} \end{matrix}

azonosság azt jelenti, hogy az (1) formulákkal kapott

x

és

y

megoldásai az

\begin{matrix} x^{2} - x y + y^{2} = 1 \end{matrix}

egyenletnek. Ha

r

racionális, akkor

x

és

y

is azok. Meg kell még mutatnunk, hogy a fenti formulák végtelen sok különböző

x

-et és

y

-t szolgáltatnak. Ez pedig nyilván következik abból, hogy az

\begin{matrix} \frac{r^{2} - 2 r}{r^{2} - r + 1} = α és az \frac{r^{2} - 1}{r^{2} - r + 1} = β \end{matrix}

egyenletnek minden valós

α

-ra és

β

-ra legfeljebb

2 - 2

megoldása van ‐ mindkettő legfeljebb másodfokú, de legalább elsőfokú ‐ és mivel a formulákban

x

és

y

helyére minden racionális szám beírható, így valóban végtelen sok megoldást kapunk.

Megjegyzés. Érdekes lehet az (1) formulák eredete. Ha bevezetjük a

t = y / x

jelölést, akkor

t

-re és

x

-re az

x^{2} (t^{2} - t + 1) = 1

egyenletet kapjuk, azaz elegendő olyan racionális

t

értéket találni, amelyre

t^{2} - t + 1

egy racionális szám,

1 / x

négyzete. Így a

\begin{matrix} t^{2} - \frac{1}{x^{2}} = t - 1 \end{matrix}

feltételt kapjuk, ahonnan

\begin{matrix} (t - \frac{1}{x}) (t + \frac{1}{x}) = t - 1 \end{matrix}

(2)

adódik. Ha most

r

tetszőleges,

0

-tól különböző racionális szám, akkor a

\begin{matrix} \begin{matrix} t - 1 / x = r (t - 1) \\ t + 1 / x = 1 / r \end{matrix}} & (3) \end{matrix}

egyenletrendszer megoldásaira teljesül

(2)

, és így

x

-re és

y = t x

-re fennáll

x^{2} - x y + y^{2} = 1

. Az

(1)

formulák pedig éppen a

(3)

egyenletrendszer megoldásával adódnak.

II. megoldás. Vezessük be az

u + v = x; u - v = y

új ismeretleneket. Ezekre nézve egyenletünk az

\begin{matrix} u^{2} + 3 v^{2} = 1 \end{matrix}

(4)

alakot ölti. Ha ennek az egyenletnek megtaláljuk végtelen sok racionális

(u, v)

megoldását, akkor a belőlük kiszámolt

x, y

is racionális megoldása lesz az

x^{2} - x y + y^{2} = 1

egyenletnek, és ezek is mind különbözőek, mivel az egyenletrendszer alapján

x

és

y

egyértelműen meghatározza

u

és

v

értékét. Felhasználva az

\begin{matrix} {(u^{2} + 3 v^{2})}^{2} = {(u^{2} - 3 v^{2})}^{2} + 12 u^{2} v^{2} = {(u^{2} - 3 v^{2})}^{2} + 3 \cdot {(2 u v)}^{2} \end{matrix}

azonosságot, látható, hogy ha

u_{0}

és

v_{0}

(4)

egyenlet egy racionális megoldása, akkor

\begin{matrix} u_{1} = 3 v_{0}^{2} - u_{0}^{2}; v_{1} = 2 u_{0} v_{0} \end{matrix}

(5)

szintén megoldás.
Ha most a ,,triviális''

u_{0} = v_{0} = 1 / 2

megoldásból indulunk ki, akkor

(5)

‐ lényegében ‐ nem ad új megoldást. Tovább keresve azt találjuk, hogy

\begin{matrix} {(\frac{1}{7})}^{2} + 3 \cdot {(\frac{4}{7})}^{2} = 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} u_{0} = \frac{1}{7}; v_{0} = \frac{4}{7} . \end{matrix}

Meg kell még mutatnunk, hogy ebből az

(5)

formulák révén különböző megoldásokat kapunk.
Írjuk ehhez

u_{n}

-et és

v_{n}

-et

\begin{matrix} u_{n} = \frac{a_{n}}{7^{2^{n}}}, illetve v_{n} = \frac{b_{n}}{7^{2^{n}}} \end{matrix}

alakba. Ekkor az

(5)

formulák alapján

a_{0} = 1, b_{0} = 4

és

\begin{matrix} a_{n + 1} = 3 b_{n}^{2} - a_{n}^{2}, illetve b_{n + 1} = 2 a_{n} b_{n} . \end{matrix}

(6)

Ha megmutatjuk, hogy sem

a_{n}

, sem pedig

b_{n}

nem oszthatók

7

-tel, akkor az

u_{n}, v_{n}

párok valóban különbözők minden

n

értékre, hiszen egyszerűsített alakjukban nevezőik a

7

különböző hatványai.
Tekintsük ehhez a számlálók,

a_{n}

és

b_{n}

maradékát

7

-tel osztva az alábbi táblázat szerint:

\begin{matrix} \begin{matrix} n & a_{n} & b_{n} \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & 6 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \end{matrix}

Látható, hogy

a_{1}

és

a_{3}

, illetve

b_{1}

és

b_{3}

ugyanazt a maradékot adják

7

-tel osztva. Így innen kezdve periodikusan ismétlődnek a maradékok, a

0

tehát valóban nem szerepel köztük.

Megjegyzés. A fenti

u_{n}

és

v_{n}

változókra nyert összefüggésekből az

x, y

sorozatokra az

\begin{matrix} x_{n + 1} = x_{n}^{2} - 2 x_{n} y_{n}; y_{n + 1} = y_{n}^{2} - 2 x_{n} y_{n} \end{matrix}

rekurziót kapjuk. Az

x_{0} = 5 / 7;