Feladat: Gy.2626 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Matolcsi Máté ,  Molnár-Sáska Gábor 
Füzet: 1991/március, 115 - 117. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számsorozatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/április: Gy.2626

Bizonyítsuk be, hogy az
x2-xy+y2=1
egyenletnek végtelen sok megoldása van a racionális számok körében.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen r tetszőleges valós szám, és legyen

x=r2-2rr2-r+1;y=r2-1r2-r+1.(1)
Ekkor a könnyű számolással kapható
(r2-2r)2-(r2-2r)(r2-1)+(r2-1)2=(r2-r+1)2
azonosság azt jelenti, hogy az (1) formulákkal kapott x és y megoldásai az
x2-xy+y2=1
egyenletnek. Ha r racionális, akkor x és y is azok. Meg kell még mutatnunk, hogy a fenti formulák végtelen sok különböző x-et és y-t szolgáltatnak. Ez pedig nyilván következik abból, hogy az
r2-2rr2-r+1=αés azr2-1r2-r+1=β
egyenletnek minden valós α-ra és β-ra legfeljebb 2-2 megoldása van ‐ mindkettő legfeljebb másodfokú, de legalább elsőfokú ‐ és mivel a formulákban x és y helyére minden racionális szám beírható, így valóban végtelen sok megoldást kapunk.
 

Megjegyzés. Érdekes lehet az (1) formulák eredete. Ha bevezetjük a t=y/x jelölést, akkor t-re és x-re az x2(t2-t+1)=1 egyenletet kapjuk, azaz elegendő olyan racionális t értéket találni, amelyre t2-t+1 egy racionális szám, 1/x négyzete. Így a
t2-1x2=t-1
feltételt kapjuk, ahonnan
(t-1x)(t+1x)=t-1(2)
adódik. Ha most r tetszőleges, 0-tól különböző racionális szám, akkor a
t-1/x=r(t-1)t+1/x=1/r}(3)
egyenletrendszer megoldásaira teljesül (2), és így x-re és y=tx-re fennáll x2-xy+y2=1. Az (1) formulák pedig éppen a (3) egyenletrendszer megoldásával adódnak.
 

II. megoldás. Vezessük be az u+v=x;u-v=y új ismeretleneket. Ezekre nézve egyenletünk az
u2+3v2=1(4)
alakot ölti. Ha ennek az egyenletnek megtaláljuk végtelen sok racionális (u,v) megoldását, akkor a belőlük kiszámolt x,y is racionális megoldása lesz az x2-xy+y2=1 egyenletnek, és ezek is mind különbözőek, mivel az egyenletrendszer alapján x és y egyértelműen meghatározza u és v értékét. Felhasználva az
(u2+3v2)2=(u2-3v2)2+12u2v2=(u2-3v2)2+3(2uv)2
azonosságot, látható, hogy ha u0 és v0 a (4) egyenlet egy racionális megoldása, akkor
u1=3v02-u02;v1=2u0v0(5)
szintén megoldás.
Ha most a ,,triviális'' u0=v0=1/2 megoldásból indulunk ki, akkor (5) ‐ lényegében ‐ nem ad új megoldást. Tovább keresve azt találjuk, hogy
(17)2+3(47)2=1,
azaz
u0=17;v0=47.

Meg kell még mutatnunk, hogy ebből az (5) formulák révén különböző megoldásokat kapunk.
Írjuk ehhez un-et és vn-et
un=an72n,illetvevn=bn72n
alakba. Ekkor az (5) formulák alapján a0=1,b0=4 és
an+1=3bn2-an2,illetvebn+1=2anbn.(6)

Ha megmutatjuk, hogy sem an, sem pedig bn nem oszthatók 7-tel, akkor az un,vn párok valóban különbözők minden n értékre, hiszen egyszerűsített alakjukban nevezőik a 7 különböző hatványai.
Tekintsük ehhez a számlálók, an és bn maradékát 7-tel osztva az alábbi táblázat szerint:
 
n   an   bn0   1   41   5   12   6   33   5   1

Látható, hogy a1 és a3, illetve b1 és b3 ugyanazt a maradékot adják 7-tel osztva. Így innen kezdve periodikusan ismétlődnek a maradékok, a 0 tehát valóban nem szerepel köztük.
 

Megjegyzés. A fenti un és vn változókra nyert összefüggésekből az x,y sorozatokra az
xn+1=xn2-2xnyn;yn+1=yn2-2xnyn
rekurziót kapjuk. Az x0=5/7;y0=-3/7 kezdeti megoldásból így közvetlenül kaphatjuk az x2-xy+y2=1 egyenlet újabb megoldásait.
 

 Molnár-Sáska Gábor (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)