Feladat: Gy.2625 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csikai Szabolcs ,  Faragó Gergely ,  Matolcsi Máté 
Füzet: 1991/március, 114 - 115. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatóság, Prímtényezős felbontás, Szakaszos tizedestörtek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/április: Gy.2625

Melyek azok a természetes számok, amelyeket bármely nálánál kisebb pozitív egész számmal elosztva véges tizedestörtet (vagy egész számot) kapunk eredményül?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ismeretes, hogy egy tört tizedestört alakja pontosan akkor véges, ha egyszerűsített alakjában a nevező prímtényezős felbontásában csak a 2 és az 5 szerepel. Ha n egy megfelelő pozitív egész, akkor mivel n és n-1 relatív prímek, ezért n-1=2u5v. Az n és az n-2 számok legnagyobb közös osztója 1 vagy 2 lévén, n-2=2p5q. Azonban n-1 és n-2 is relatív prímek, tehát (n paritásától függően) vagy n-1=2u és n-2=5q, vagy pedig n-1=5v és n-2=2p.
Ha n5, akkor a fentiekből n=3, vagy n=2 adódik, és mindkettő megoldása a feladatnak. Ha n>5, akkor n-1, ill. n-2 valódi hatványai az 5-nek; így n-3 biztosan nem osztható 5-tel, másfelől n és n-3 egyaránt oszthatók 3-mal, emiatt csak n-3=32a lehetséges.
A második esetben (ha n páros) n-3 páratlan, így 2a=1, azaz n-3=3, tehát n=6, ami valóban megoldás.
Ha n páratlan, akkor n-1=2u és n-3=32a miatt

2(2u-1-1)=2u-2=32a,
tehát a=1, azaz n=9. Ekkor azonban 9/7 tizedestört alakja nem véges. (Valójában ez az egyetlen kivétel.)
Ezzel a feladatot megoldottuk, a keresett számok: 2,3 és 6.
 

 Csikai Szabolcs (Kecskemét, Katona J. Gimn., I. o. t.)
 

Megjegyzés. A kérdéses n számok felkutatásában (a nála kisebb számok közül) elég volt elmenni (n-3) vizsgálatáig. Csak az így szóba jött n-ek lehetnek megoldások. Ezekre aztán az n-4,n-5,... számokat már csak ellenőrízni kellett. Ilyen volt n=9 kiesése n-2=7 miatt.