Feladat: Gy.2613 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Faragó Gergely ,  Molnár-Sáska Gábor ,  Szatmári Alexandra 
Füzet: 1991/március, 106 - 107. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gömb és részei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/február: Gy.2613

Legalább mekkora annak a kockának az éle, amelyikbe belefér 2 db egységsugarú gömb, amelyeknek nincs közös belső pontja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük a feladatban keresett minimális élű kockát. Ennek élhossza nagyobb, mint 2 egység, mivel egy egységsugarú gömb köré írt kocka élhossza éppen ennyi. Ezért a minimális élű kocka belsejében létezik egy kis kocka, amelyet azok a síkok határolnak, amelyek a nagy kocka lapjaitól 1 egység távolságra vannak, és ezeket a lapsíkokat elválasztják a kocka középpontjától.

 
 

Egy egységsugarú gömb pontosan akkor nem lóg ki a nagy kockából, ha középpontja a kis kocka belsejében vagy határán van. Másrészt a két gömbnek nincs közös belső pontja, ezért középpontjuk távolsága legalább 2 egység. Tehát a kis kockának van két pontja, amelyek távolsága legalább 2 egység. Egy kocka pontjai közül egymástól legtávolabb egy testátló két végpontja van, ily módon a kis kocka testátlója legalább 2 egység, vagyis éle legalább 2/3 egység. Ennél a nagy kocka éle pontosan 2 egységgel nagyobb, így az legalább 2+2/3 egység.
Egy 2+2/3 élű kockában már elhelyezhető a feltételeknek megfelelő két gömb úgy, hogy középpontjuk egy testátlóra illeszkedik, a kocka középpontjától 1-1 egységnyi távolságra.
 

 Faragó Gergely (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján