| Feladat: | Gy.2613 | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: átlagos |
| Megoldó(k): | Faragó Gergely , Molnár-Sáska Gábor , Szatmári Alexandra | ||
| Füzet: | 1991/március, 106 - 107. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Kocka, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gömb és részei, Gyakorlat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/február: Gy.2613 | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tekintsük a feladatban keresett minimális élű kockát. Ennek élhossza nagyobb, mint egység, mivel egy egységsugarú gömb köré írt kocka élhossza éppen ennyi. Ezért a minimális élű kocka belsejében létezik egy kis kocka, amelyet azok a síkok határolnak, amelyek a nagy kocka lapjaitól egység távolságra vannak, és ezeket a lapsíkokat elválasztják a kocka középpontjától.  Egy egységsugarú gömb pontosan akkor nem lóg ki a nagy kockából, ha középpontja a kis kocka belsejében vagy határán van. Másrészt a két gömbnek nincs közös belső pontja, ezért középpontjuk távolsága legalább egység. Tehát a kis kockának van két pontja, amelyek távolsága legalább egység. Egy kocka pontjai közül egymástól legtávolabb egy testátló két végpontja van, ily módon a kis kocka testátlója legalább egység, vagyis éle legalább egység. Ennél a nagy kocka éle pontosan egységgel nagyobb, így az legalább egység. Egy élű kockában már elhelyezhető a feltételeknek megfelelő két gömb úgy, hogy középpontjuk egy testátlóra illeszkedik, a kocka középpontjától egységnyi távolságra. Faragó Gergely (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján |