Feladat: Gy.2531 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Molnár-Sáska Gábor 
Füzet: 1989/november, 391. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Paralelogrammák, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/január: Gy.2531

Legyen P és Q a sík két rögzített pontja. Az adott ABCD paralelogramma úgy mozog a síkon, hogy az AB oldal egyenese mindig átmegy a P ponton, az AD oldal egyenese pedig a Q ponton.
Mutassuk meg, hogy van egy olyan R pont, amely a paralelogramma minden helyzetében rajta van az AC átló egyenesén.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg, hol helyezkednek el az A pontok, miközben a paralelogramma az előírt módon mozog.

 
 
1. ábra
 

A QAP szög állandó, hiszen ez éppen a paralelogramma BAD szöge. Ezért az A pont rajta van a PQ szakasz BAD szöghöz tartozó egyik körívén. (Tudjuk, hogy két olyan ‐ a PQ-ra szimmetrikus ‐ körív van, amelyekből a PQ szakasz BAD szögben látszik, de mivel a mozgás során a paralelogramma körüljárása nem változhat meg, ezért A csak az egyik körívet futhatja be (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Legyen az A pont által befutott látókörívet tartalmazó kör és a ‐ tetszőleges helyzetben lévő ‐ paralelogramma AC átlójának (A-tól különböző) metszéspontja R. Megmutatjuk, hogy az R pont független a paralelogramma helyzetétől. Mivel a mozgás során a BAC szög állandó, ezért a PAR szög is állandó, tehát az ehhez a szöghöz tartozó PR húr hossza is állandó. Az R pont a kör azon QP ívén van, amely A-t nem tartalmazza. Ebből és PR hosszának állandóságából viszont az következik, hogy R-nek mindig ugyanott kell lennie a körön.
 

 Molnár-Sáska Gábor (Bp., Kodály Z. Ált. Isk., 8. o. t.)
 dolgozata alapján