Feladat: Gy.2508 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Nagy Judit 
Füzet: 1989/március, 118 - 119. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Transzformációk fixpontjai, fixalakzatai, Transzformációk szorzata, Sokszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/október: Gy.2508

Adott a síkon egy kör és n darab egyenes, amelyek között nincsenek párhuzamosak. Szerkesszünk a körbe olyan n oldalú sokszöget, amelynek oldalai párhuzamosak az n adott egyenessel.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. A sokszög minden csúcsa rajta van a körön, tehát a sokszög minden oldalának felező merőlegese átmegy a kör középpontján. Jelöljük ezeket a felező merőlegeseket rendre e1,e2,...,en-nel. Ha a sokszögnek az 1. ábrán látható A1 csúcsát e1-re tükrözzük, akkor az A2 csúcsot kapjuk. Ezt tovább tükrözve e2-re A3-at kapjuk, és így tovább, Ai-t ei-re tükrözve Ai+1-et kapjuk, míg végül en-re való tükrözés után visszakapjuk az A1 pontot. Tehát az A1 fixpontja annak a transzformációnak, amely az e1,e2,...,en egyenesekre való tükrözések egymásutánjából áll. Vizsgáljuk meg, hogy ez a transzformáció milyen egyszerűbben leírható transzformációval helyettesíthető.

 
 
1. ábra
 

Ismert, hogy két egymást metsző tengelyre való tükrözés egymásutánja helyettesíthető egy, a tengelyek metszéspontja körüli elforgatással, melynek szöge éppen a tengelyek szögének a kétszerese (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Egy pont körüli elforgatás és egy, a ponton átmenő tengelyre való tükrözés egymásutánja pedig helyettesíthető egy olyan tengelyre való tükrözéssel, amelyik átmegy az adott ponton, és az eredeti tükrözés tengelyével feleakkora szöget zár be, mint az elforgatás szöge (3. ábra). (Ezeknek az állításoknak a bizonyítása megtalálható pl. Reiman István: Fejezetek az elemi geometriából c. középiskolai tankönyvének 33‐34. oldalán.)
 
 
3. ábra
 

Jelöljük az ei egyenesre való tükrözést Ti-vel, az adott kör O középpontja körüli α szögű elforgatást F(α)-val, az ei és az ej egyenesek szögét pedig αij-vel. Meg kell szerkesztenünk a T1,T2,...,Tn=T transzformációnak az adott körvonalon levő fixpontjait.
Két esetet különböztetünk meg. Ha n páros, akkor
T=(T1T2)(T3T4)...(Tn-1Tn)=F(2α12)F(2α34)...F(2αn-1,n)=F(2(α12+α34+...+αn-1,n)).


Ez egy O körüli elforgatás, aminek csak akkor van 0-tól különböző fixpontja, ha az elforgatás szöge 360-nak egész számú többszöröse; akkor viszont minden pont fixpont.
Ha n páratlan, akkor
T=(T1T2)(T3T4)...(Tn-2Tn-1)Tn=F(2α12)F(2α34)...F(2αn-2,n-1)Tn=F(2(α12+α34+...+αn-2,n-1))Tn.


Ez egy tengelyes tükrözés, aminek a körvonalon két fixpontja van.
Ezek alapján a szerkesztés a következőképpen végezhető el: Az O pontból merőlegeseket állítunk az adott egyenesekre, ezek éppen az ei egyenesek lesznek. Ezután megszerkesztjük a T transzformációnak a körvonalon levő fixpontjait. Ha n páros, akkor T egy O körüli elforgatás, tehát vagy nincs fixpontja, azaz a feladatnak nincs megoldása (ha 2(α12+α34+...+αn-1,n)k360), vagy végtelen sok fixpontja van (ha 2(α12+α34+...+αn-1,n)=k360)), és ilyenkor a feladatnak is végtelen sok megoldása van, hiszen a körvonal tetszőleges A1 pontját sorban tükrözve az e1,e2,...,en egyenesekre, a feltételeknek megfelelő (esetleg hurkolt) sokszöget kapunk. Ha n páratlan, akkor T egy tengelyes tükrözés, aminek a körön két fixpontja van; ekkor tehát két (O-ra tükrös helyzetű) megoldást kapunk úgy, hogy a fixpontot rendre tükrözzük az e1,e2,...,en egyenesekre. Mivel az n darab egyenes sorrendje nem volt előírva, ezért a fenti eljárást az egyenesek minden lehetséges sorrendjében el kell végezni.
 

 Nagy Judit (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)
 dolgozata alapján