Feladat: Gy.2505 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Tisza Miklós 
Füzet: 1989/május, 211 - 212. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Osztók száma, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/október: Gy.2505

Hány megoldása van az
1x+1y+1xy=11988
egyenletnek a természetes számok halmazán?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1x+1y+1xy=11988(1)

Fejezzük ki az egyenletből az egyik ismeretlent ‐ például y-t ─
y=1988+19881989x-1988.(2)
Mivel y (és x ) egész szám, ezért (2) jobb oldalán a második tag nevezője osztója a számlálónak. Azt állítjuk, hogy ez az osztó nem lehet negatív.
Ha ugyanis (x-1988) negatív, akkor x0 miatt x-19881988, és így (2)-ben a tört abszolút értéke legalább 1989. Másrészt a tört negatív, így y<0; ezt azonban a feltétel kizárja. Ha tehát egy természetes számokból álló (x,y) számpár megoldása (1)-nek, akkor y ‐ és persze x is ─ nagyobb, mint 1988.
Könnyen látható másrészt, hogy A=19881989 bármely pozitív d osztójára az (1988+d,1988+Ad) számpár megoldása (1)-nek, és különböző osztókra különböző megoldásokat kapunk. Következésképpen az (1) egyenletnek annyi megoldása van a természetes számok halmazán, ahány pozitív osztója van az
A=19881989=22327131771
számnak.
Ismeretes, hogy ha egy B szám prímtényezős felbontása p1a1p2a2...pkak, akkor B-nek
d(B)=(1+α1)(1+α2)...(1+αk)
darab pozitív osztója van. Esetünkben ez az érték
d(A)=(1+2)(1+2)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=144,
így az (1) egyenletnek 144 darab megoldása van a természetes számok halmazán.
 

 Tisza Miklós (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)
 dolgozata alapján