Feladat:	Gy.2505	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tisza Miklós
Füzet:	1989/május, 211 - 212. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Osztók száma, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/október: Gy.2505

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1988}}\end{array}$ (1) Fejezzük ki az egyenletből az egyik ismeretlent ‐ például $y$-t ─ $\begin{array}{c}{\displaystyle y=1988+\frac{1988\cdot 1989}{x-1988}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Mivel $y$ (és $x$ ) egész szám, ezért (2) jobb oldalán a második tag nevezője osztója a számlálónak. Azt állítjuk, hogy ez az osztó nem lehet negatív. Ha ugyanis $\left(x-1988\right)$ negatív, akkor $x\geqq 0$ miatt $x-1988\leqq 1988$, és így (2)-ben a tört abszolút értéke legalább $1989$. Másrészt a tört negatív, így $y<0$; ezt azonban a feltétel kizárja. Ha tehát egy természetes számokból álló $\left(x\mathrm{,}y\right)$ számpár megoldása (1)-nek, akkor $y$ ‐ és persze $x$ is ─ nagyobb, mint $1988$. Könnyen látható másrészt, hogy $A=1988\cdot 1989$ bármely pozitív $d$ osztójára az $\left(1988+d\mathrm{,1988}+\frac{A}{d}\right)$ számpár megoldása (1)-nek, és különböző osztókra különböző megoldásokat kapunk. Következésképpen az (1) egyenletnek annyi megoldása van a természetes számok halmazán, ahány pozitív osztója van az $\begin{array}{c}{\displaystyle A=1988\cdot 1989=2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 13\cdot 17\cdot 71}\end{array}$ számnak. Ismeretes, hogy ha egy $B$ szám prímtényezős felbontása $p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\text{...}\cdot p_k^{a_k}$, akkor $B$-nek $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(B\right)=\left(1+{\alpha }_1\right)\left(1+{\alpha }_2\right)\cdot \text{...}\cdot \left(1+{\alpha }_k\right)}\end{array}$ darab pozitív osztója van. Esetünkben ez az érték $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(A\right)=\left(1+2\right)\left(1+2\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=\mathrm{144,}}\end{array}$ így az (1) egyenletnek $144$ darab megoldása van a természetes számok halmazán.    Tisza Miklós (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)  dolgozata alapján