Kezdőlap


Feladat:	Gy.2485	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Sándor , Weisz Csaba
Füzet:	1989/január, 20 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Térfogat, Szabályos testek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/április: Gy.2485

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy az oktaéder lapjaira állított gúlák egységnyi élű szabályos tetraéderek. Az oktaéder szimmetriája miatt a gúlák oldallapjai egybevágó egyenlő szárú háromszögek. Ezek akkor alkotnak szabályos tetraédert, ha az alaplappal bezárt szögük megegyezik a szabályos tetraéder lapszögével. A konstrukcióból következően az oldallapoknak az alaplappal bezárt szöge éppen $180^{\circ}$ -ra egészíti ki a szabályos oktaéder lapszögét. Azt kell tehát igazolnunk, hogy a szabályos tetraéder és a szabályos oktaéder lapszögének összege $180^{\circ}$ .
Számítsuk ki először a szabályos oktaéder lapszögét. Ezt a szöget az oktaéder egyik élének felezőpontja és a két szemközti csúcs által meghatározott egyenlő szárú háromszöget felhasználva tehetjük meg (1. és 2. ábra). Legyen a keresett szög $2 α$ .

1. ábra

2. ábra

A B D

háromszögből:

\begin{matrix} sin α = \frac{\frac{\sqrt[]{2}}{2}}{\frac{\sqrt[]{3}}{2}} = \sqrt[]{\frac{2}{3}}, cos α = \sqrt[]{1 - sin^{2} α} = \frac{\sqrt[]{3}}{3}, \\ sin 2 α = 2 sin α cos α = \frac{2 \sqrt[]{2}}{3} . \end{matrix}

A szabályos tetraéder lapszögét a 3. és 4. ábra alapján határozhatjuk meg (

E

és

F

két csúcs,

G

E F

D

pedig az

E F

-fel szemközti él felezőpontja).

3. ábra

4. ábra

A keresett

2 β

szög szögfüggvényeinek értékét a

D E G

háromszögből számíthatjuk ki:

\begin{matrix} sin β = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt[]{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt[]{3}}, cos β = \sqrt[]{\frac{2}{3}}, \\ sin 2 β = 2 sin β cos β = \frac{2 \sqrt[]{2}}{3} . \end{matrix}

Mivel

sin 2 α = sin 2 β

és

2 α \neq 2 β

, ezért a lapszögek valóban

180^{\circ}

-ra egészítik ki egymást, tehát a gúlák szabályos tetraéderek.
A test ily módon egy szabályos okatéderből és a lapjaira illesztett 8 db szabályos tetraéderből áll. Térfogata ezen testek térfogatának összege, azaz:

\begin{matrix} V = V_{okt.} + 8 \cdot V_{tetr.} = \frac{\sqrt[]{2}}{3} + 8 \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{12} = \sqrt[]{2}, \end{matrix}

a felszíne pedig megegyezik 24 db egységnyi oldalú szabályos háromszög területével:

\begin{matrix} A = 24 \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{4} = 6 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Németh Sándor (Győr, Révai M. Gimn., I. o. t.)
dolgozata alapján

II. megoldás. A feladatot trigonometria használata nélkül is megoldhatjuk.

5. ábra

Tekintsünk egy 2 egység oldalú szabályos tetraédert (5. ábra). Ennek élfelező pontjai egy egységnyi élű szabályos oktaédert határoznak meg. A feladatban éppen erre az oktaéderre "építjük vissza'' az őt négyesével szabályos 2 egység oldalú tetraéderré kiegészítő gúlákat, amiknek így szabályos tetraédereknek kell lenniük. (Az oktaéderre összesen két "nagy'' tetraédert építünk.)
A további számolás már ugyanúgy végezhető el, mint az I. megoldásban.

Weisz Csaba (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o. t.)