|
Feladat: |
Gy.2485 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Németh Sándor , Weisz Csaba |
Füzet: |
1989/január,
20 - 23. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Térfogat, Szabályos testek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1988/április: Gy.2485 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy az oktaéder lapjaira állított gúlák egységnyi élű szabályos tetraéderek. Az oktaéder szimmetriája miatt a gúlák oldallapjai egybevágó egyenlő szárú háromszögek. Ezek akkor alkotnak szabályos tetraédert, ha az alaplappal bezárt szögük megegyezik a szabályos tetraéder lapszögével. A konstrukcióból következően az oldallapoknak az alaplappal bezárt szöge éppen -ra egészíti ki a szabályos oktaéder lapszögét. Azt kell tehát igazolnunk, hogy a szabályos tetraéder és a szabályos oktaéder lapszögének összege . Számítsuk ki először a szabályos oktaéder lapszögét. Ezt a szöget az oktaéder egyik élének felezőpontja és a két szemközti csúcs által meghatározott egyenlő szárú háromszöget felhasználva tehetjük meg (1. és 2. ábra). Legyen a keresett szög .
1. ábra
2. ábra
Az háromszögből:
A szabályos tetraéder lapszögét a 3. és 4. ábra alapján határozhatjuk meg ( és két csúcs, az , pedig az -fel szemközti él felezőpontja).
3. ábra
4. ábra A keresett szög szögfüggvényeinek értékét a háromszögből számíthatjuk ki:
Mivel és , ezért a lapszögek valóban -ra egészítik ki egymást, tehát a gúlák szabályos tetraéderek. A test ily módon egy szabályos okatéderből és a lapjaira illesztett 8 db szabályos tetraéderből áll. Térfogata ezen testek térfogatának összege, azaz: | | a felszíne pedig megegyezik 24 db egységnyi oldalú szabályos háromszög területével: Németh Sándor (Győr, Révai M. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján
II. megoldás. A feladatot trigonometria használata nélkül is megoldhatjuk.
5. ábra Tekintsünk egy 2 egység oldalú szabályos tetraédert (5. ábra). Ennek élfelező pontjai egy egységnyi élű szabályos oktaédert határoznak meg. A feladatban éppen erre az oktaéderre "építjük vissza'' az őt négyesével szabályos 2 egység oldalú tetraéderré kiegészítő gúlákat, amiknek így szabályos tetraédereknek kell lenniük. (Az oktaéderre összesen két "nagy'' tetraédert építünk.) A további számolás már ugyanúgy végezhető el, mint az I. megoldásban. Weisz Csaba (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o. t.)
|
|