Feladat: Gy.2485 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Németh Sándor ,  Weisz Csaba 
Füzet: 1989/január, 20 - 23. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Térfogat, Szabályos testek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/április: Gy.2485

Egységnyi élű szabályos oktaéder minden egyes lapjára építsük fel azt a gúlát, amelyet az adott lap és a vele élben szomszédos lapok síkjai határoznak meg. Mekkora az így kapott csillag alakú test felszíne és térfogata?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy az oktaéder lapjaira állított gúlák egységnyi élű szabályos tetraéderek. Az oktaéder szimmetriája miatt a gúlák oldallapjai egybevágó egyenlő szárú háromszögek. Ezek akkor alkotnak szabályos tetraédert, ha az alaplappal bezárt szögük megegyezik a szabályos tetraéder lapszögével. A konstrukcióból következően az oldallapoknak az alaplappal bezárt szöge éppen 180-ra egészíti ki a szabályos oktaéder lapszögét. Azt kell tehát igazolnunk, hogy a szabályos tetraéder és a szabályos oktaéder lapszögének összege 180.
Számítsuk ki először a szabályos oktaéder lapszögét. Ezt a szöget az oktaéder egyik élének felezőpontja és a két szemközti csúcs által meghatározott egyenlő szárú háromszöget felhasználva tehetjük meg (1. és 2. ábra). Legyen a keresett szög 2α.

 
 
1. ábra
 

 
 
2. ábra
 


Az ABD háromszögből:
sinα=2232=23,cosα=1-sin2α=33,sin2α=2sinαcosα=223.



A szabályos tetraéder lapszögét a 3. és 4. ábra alapján határozhatjuk meg (E és F két csúcs, G az EF, D pedig az EF-fel szemközti él felezőpontja).
 
 
3. ábra
 

 
 
4. ábra
 

A keresett 2β szög szögfüggvényeinek értékét a DEG háromszögből számíthatjuk ki:
sinβ=1232=13,cosβ=23,sin2β=2sinβcosβ=223.



Mivel sin2α=sin2β és 2α2β, ezért a lapszögek valóban 180-ra egészítik ki egymást, tehát a gúlák szabályos tetraéderek.
A test ily módon egy szabályos okatéderből és a lapjaira illesztett 8 db szabályos tetraéderből áll. Térfogata ezen testek térfogatának összege, azaz:
V=Vokt.+8Vtetr.=23+8212=2,
a felszíne pedig megegyezik 24 db egységnyi oldalú szabályos háromszög területével:
A=2434=63.
 

Németh Sándor (Győr, Révai M. Gimn., I. o. t.)
dolgozata alapján

 

II. megoldás. A feladatot trigonometria használata nélkül is megoldhatjuk.
 
 
5. ábra
 

Tekintsünk egy 2 egység oldalú szabályos tetraédert (5. ábra). Ennek élfelező pontjai egy egységnyi élű szabályos oktaédert határoznak meg. A feladatban éppen erre az oktaéderre "építjük vissza'' az őt négyesével szabályos 2 egység oldalú tetraéderré kiegészítő gúlákat, amiknek így szabályos tetraédereknek kell lenniük. (Az oktaéderre összesen két "nagy'' tetraédert építünk.)
A további számolás már ugyanúgy végezhető el, mint az I. megoldásban.
 

Weisz Csaba (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o. t.)