Feladat: Gy.2461 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1989/január, 18 - 19. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Beírt gömb, Vetítések, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/január: Gy.2461

Bizonyítsuk be, hogy a tetraéder lapszögeinek az összege nagyobb, mint 360.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldásunk során felhasználjuk azt a később bizonyítandó lemmát, hogy egy triéder (három egy pontból kiinduló nem egysíkú félegyenes által meghatározott térbeli alakzat) lapszögeinek az összege 180-nál nagyobb. Ezek szerint a tetraéder négy csúcsához tartozó négy triéder szögeinek az összege több, mint 4180=720. A tetraéder minden lapszöge két triéderben (két lap közös élén lévő csúcsokhoz tartozó triéderekben) lép fel, tehát a tetraéder lapszögeinek az összege nagyobb, mint 7202=360. Ez éppen a bizonyítandó állítás.

 
 
1. ábra
 

A lemma bizonyítása: Tekintsünk egy olyan gömböt, amely érinti a triéder mindhárom lapját. (Ilyen beírt gömb végtelen sok létezik; ezt lényegében ugyanúgy láthatjuk be, mint azt a tényt, hogy minden tetraédernek van beírt gömbje.) Állítsunk a gömb középpontjából merőlegeseket a triéder lapjaira (1. ábra). Így három olyan szakaszt kapunk, amelyek egyenlő hosszúak, és közülük bármelyik kettő által bezárt szög éppen a megfelelő síkok lapszögének kiegészítő szöge. Vagyis a lapszögek összege pontosan akkor nagyobb 180-nál, ha ezen szakaszok közötti szögek összege kisebb, mint 360.
 
 
2. ábra
 

Jelöljük O-val a triéderbe írt gömb középpontját, A, B, C-vel pedig az érintési pontokat. Legyen O' az O pont merőleges vetülete az ABC síkon (2. ábra). Ekkor az OO'A, OO'B és OO'C háromszögek egybevágóak, mert van egy közös oldaluk, az O'-nél lévő szögük derékszög, továbbá OA=OB=OC. Ezért O'A=O'B=O'C, vagyis az ABO', BCO' és CAO' háromszögek egyenlő szárúak. Tekintsük például az ABO és ABO' egyenlő szárú háromszögeket. Ezeknek közös az alapjuk, az ABO háromszög szára megegyezik az OO'A derékszögű háromszög átfogójával, s így nagyobb, mint az O'A befogó, ami az AO'B háromszögnek a szára. Ez azt jelenti (l. a 3. ábrát), hogy azABO háromszög szárszöge kisebb, mint az ABO' háromszögé, tehát
AOB<AO'B.

 
 
3. ábra
 


Ugyanígy kapjuk, hogy
BOC<BO'C,COA<CO'A.




A jobb oldalon álló szögek összege éppen 360, tehát a bal oldali szögek összege 360-nál kisebb, és éppen ezt akartuk bizonyítani.