Kezdőlap


Feladat:	Gy.2461	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1989/január, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Beírt gömb, Vetítések, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/január: Gy.2461

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldásunk során felhasználjuk azt a később bizonyítandó lemmát, hogy egy triéder (három egy pontból kiinduló nem egysíkú félegyenes által meghatározott térbeli alakzat) lapszögeinek az összege $180^{\circ}$ -nál nagyobb. Ezek szerint a tetraéder négy csúcsához tartozó négy triéder szögeinek az összege több, mint $4 \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}$ . A tetraéder minden lapszöge két triéderben (két lap közös élén lévő csúcsokhoz tartozó triéderekben) lép fel, tehát a tetraéder lapszögeinek az összege nagyobb, mint $\frac{720^{\circ}}{2} = 360^{\circ}$ . Ez éppen a bizonyítandó állítás.

1. ábra

A lemma bizonyítása: Tekintsünk egy olyan gömböt, amely érinti a triéder mindhárom lapját. (Ilyen beírt gömb végtelen sok létezik; ezt lényegében ugyanúgy láthatjuk be, mint azt a tényt, hogy minden tetraédernek van beírt gömbje.) Állítsunk a gömb középpontjából merőlegeseket a triéder lapjaira (1. ábra). Így három olyan szakaszt kapunk, amelyek egyenlő hosszúak, és közülük bármelyik kettő által bezárt szög éppen a megfelelő síkok lapszögének kiegészítő szöge. Vagyis a lapszögek összege pontosan akkor nagyobb

180^{\circ}

-nál, ha ezen szakaszok közötti szögek összege kisebb, mint

360^{\circ}

2. ábra

Jelöljük

O

-val a triéderbe írt gömb középpontját,

A

B

C

-vel pedig az érintési pontokat. Legyen

O'

O

pont merőleges vetülete az

A B C

síkon (2. ábra). Ekkor az

O O' A

O O' B

és

O O' C

háromszögek egybevágóak, mert van egy közös oldaluk, az

O'

-nél lévő szögük derékszög, továbbá

O A = O B = O C

. Ezért

O' A = O' B = O' C

, vagyis az

A B O'

B C O'

és

C A O'

háromszögek egyenlő szárúak. Tekintsük például az

A B O

és

A B O'

egyenlő szárú háromszögeket. Ezeknek közös az alapjuk, az

A B O

háromszög szára megegyezik az

O O' A

derékszögű háromszög átfogójával, s így nagyobb, mint az

O' A

befogó, ami az

A O' B

háromszögnek a szára. Ez azt jelenti (l. a 3. ábrát), hogy az

A B O

háromszög szárszöge kisebb, mint az

A B O'

háromszögé, tehát

\begin{matrix} A O B ∢ < A O' B ∢ . \end{matrix}

3. ábra

Ugyanígy kapjuk, hogy

\begin{matrix} B O C ∢ < B O' C ∢, \\ C O A ∢ < C O' A ∢ . \end{matrix}

A jobb oldalon álló szögek összege éppen

360^{\circ}

, tehát a bal oldali szögek összege

360^{\circ}

-nál kisebb, és éppen ezt akartuk bizonyítani.