Feladat: Gy.2408 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1987/október, 313 - 314. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számsorozatok, Pitagoraszi számhármasok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/április: Gy.2408

Létezik-e pozitív négyzetszámok olyan végtelen sorozata, ahol az első n elem összege minden n-re négyzetszám?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ilyen sorozat létezik. Igaz ugyanis, hogy minden 4-nél nagyobb négyzetszám ,,belefoglalható egy pitagoraszi számhármasba'', azaz ha m2>4, akkor van olyan pozitív négyzetszám, amelyet m2-hez adva ismét négyzetszámot kapunk. A fenti eredmény ismételt alkalmazásával nyilván tetszőleges, 4-nél nagyobb négyzetszámból kiindulva megfelelő sorozathoz jutunk.
Azt kell tehát igazolnunk, hogy m>2 esetén az

m2+x2=y2(1)
egyenletnek létezik olyan megoldása, ahol x>0. Rendezés és szorzattá alakítás után (1)-ből az m2=(y-x)(y+x) egyenletet kapjuk. Ha m2-et fel tudjuk bontani egyező paritású különböző tényezők m1m2 szorzatára (m1<m2), akkor az
y-x=m1,y+x=m2
egyenletrendszer megoldható a pozitív egészek körében.
Ha m páratlan, akkor m1=1,m2=m2 megfelel és ekkor az x=m2-12, y=m2+12 megoldást kapjuk, ha pedig az m páros, akkor m1=2 és m2=m22-ből x=m2-44, y=m2+44.
Ezzel a felhasznált segédtételt igazoltuk, és  így a bizonyítást befejeztük.
 

Megjegyzés. A megoldás során a kérdéses sorozatnak csak a létezését igazoltuk. Látható, hogy végtelen sok megfelelő sorozat van, sőt egy-egy ilyen sorozat még az első elem megadása után sem egyértelmű, hiszen a segédtételbeli m2 általában többféleképpen is felbontható megfelelő tényezők szorzatára.
A megoldásból egyébként rekurzió is kiolvasható ilyen sorozatok elkészítésére. Ha m1=a12>4 az első elem, és az első k darab elem összegét Qk jelöli, akkor egy megfelelő sorozat (k+1)-edik eleme az alábbiak szerint számolható: mk+1=ak+12, ahol
ak+1={Qk-12,haQkpáratlan,Qk-44,haQkpáros.