Kezdőlap


Feladat:	Gy.2408	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1987/október, 313 - 314. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Pitagoraszi számhármasok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/április: Gy.2408

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ilyen sorozat létezik. Igaz ugyanis, hogy minden $4$ -nél nagyobb négyzetszám ,,belefoglalható egy pitagoraszi számhármasba'', azaz ha $m^{2} > 4$ , akkor van olyan pozitív négyzetszám, amelyet $m^{2}$ -hez adva ismét négyzetszámot kapunk. A fenti eredmény ismételt alkalmazásával nyilván tetszőleges, $4$ -nél nagyobb négyzetszámból kiindulva megfelelő sorozathoz jutunk.
Azt kell tehát igazolnunk, hogy $m > 2$ esetén az

\begin{matrix} m^{2} + x^{2} = y^{2} \end{matrix}

(1)

egyenletnek létezik olyan megoldása, ahol

x > 0.

Rendezés és szorzattá alakítás után (1)-ből az

m^{2} = (y - x) (y + x)

egyenletet kapjuk. Ha

m^{2}

-et fel tudjuk bontani egyező paritású különböző tényezők

m_{1} \cdot m_{2}

szorzatára

(m_{1} < m_{2})

, akkor az

\begin{matrix} y - x & = m_{1}, \\ y + x & = m_{2} \end{matrix}

egyenletrendszer megoldható a pozitív egészek körében.
Ha

m

páratlan, akkor

m_{1} = 1, m_{2} = m^{2}

megfelel és ekkor az

x = \frac{m^{2} - 1}{2},

y = \frac{m^{2} + 1}{2}

megoldást kapjuk, ha pedig az

m

páros, akkor

m_{1} = 2

és

m_{2} = \frac{m^{2}}{2}

-ből

x = \frac{m^{2} - 4}{4}

y = \frac{m^{2} + 4}{4}

.
Ezzel a felhasznált segédtételt igazoltuk, és így a bizonyítást befejeztük.

Megjegyzés. A megoldás során a kérdéses sorozatnak csak a létezését igazoltuk. Látható, hogy végtelen sok megfelelő sorozat van, sőt egy-egy ilyen sorozat még az első elem megadása után sem egyértelmű, hiszen a segédtételbeli

m^{2}

általában többféleképpen is felbontható megfelelő tényezők szorzatára.
A megoldásból egyébként rekurzió is kiolvasható ilyen sorozatok elkészítésére. Ha

m_{1} = a_{1}^{2} > 4

az első elem, és az első

k

darab elem összegét

Q_{k}

jelöli, akkor egy megfelelő sorozat

(k + 1)

-edik eleme az alábbiak szerint számolható:

m_{k + 1} = a_{k + 1}^{2}

, ahol

\begin{matrix} a_{k + 1} = {\begin{matrix} \frac{Q_{k} - 1}{2}, ha Q_{k} páratlan, \\ \frac{Q_{k} - 4}{4}, ha Q_{k} páros . \end{matrix} \end{matrix}