Feladat: Gy.2395 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Darabos Géza ,  Jónás Alpár 
Füzet: 1987/október, 310 - 311. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Középponti és kerületi szögek, Szögfelező egyenes, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/február: Gy.2395

Az ABC háromszögben ACB=90. A C-ből az átfogóra bocsátott merőleges talppontja D. Az ADC szög felezője az AC oldalt P-ben, a BDC szög felezője a CB oldalt Q-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy CP=CQ.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel DP, illetve DQ szögfelező, ezért PDC=CDQ=45. A CPDQ négyszögben tehát a szemközti C és D csúcsoknál egyaránt derékszög van, vagyis a CPDQ négyszög húrnégyszög (1. ábra). A kerületi szögek tételének megfordításából következik, hogy egy körben egyenlő kerületi szögekhez egyenlő húrok tartoznak, tehát a PDC és a CDQ szögek egyenlőségéből következik, hogy CP=CQ.

 
 
1. ábra
 

 
II. megoldás. Jelöljük a CAB szöget α-val! (2. ábra)
 
 
2. ábra
 


Mivel ekkor a DCB szög is α, továbbá PDA=CDQ=45, ezért a PAD és a QCD háromszögek hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Ekkor a megfelelő oldalak aránya is egyenlő:
AD:CD=AP:CQ.(1)
Másrészt az ADC háromszögben DP szögfelező, tehát a szögfelezőtétel szerint:
AD:CD=AP:CP.(2)
(1) és (2) egybevetéséből kapjuk, hogy CP=CQ, amit bizonyítani kellett.