Feladat: Gy.2390 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Elbert Judit 
Füzet: 1987/október, 305 - 306. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Azonosságok, Geometriai egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/február: Gy.2390

Legyenek a, b és c pozitív számok. Bizonyítsuk be, hogy
abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jobb oldalon álló szorzat tényezőit rendre A, B, C-vel jelölve nyilván
a=A+C2, b=A+B2 és c=B+C2, a bizonyítandó állítás pedig az

(A+B)(B+C)(C+A)8ABC(2)
alakot ölti.
Az új változók összege, A+B+C=a+b+c, ami pozitív és mind A-nál, mind B-nél, mind pedig C-nél nagyobb, hiszen a, b és c pozitív számok. Ez azt jelenti, hogy A, B és C közül legalább kettő pozitív. Ha tehát (2) jobb oldalán van nem pozitív tényező, akkor pontosan egy van, így ilyenkor (2) jobb oldala nem pozitív, a bizonyítandó egyenlőtlenség igaz.
Ha A, B és C mindegyike pozitív, akkor (2)-t alkalmasan rendezve az
A(B-C)2+B(C-A)2+C(A-B)20(3)
egyenlőtlenséghez jutunk, ami pedig nyilván teljesül. Az is kiolvasható, hogy (3)-ban pontosan akkor van egyenlőség, ha A=B=C, azaz a, b és c egyenlők.
 

Megjegyzések. 1. Abban az esetben, amikor A, B és C pozitív mennyiségek, (2) a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség felhasználásával is belátható, ha összeszorozzuk az
12(A+B)AB,12(B-C)BC,12(C+A)AC
egyenlőtlenségeket.
2. Pozitív A, B és C esetén geometriai jelentés tulajdonítható az (1) két oldalán álló mennyiségeknek. A feltétel ugyanis azt jelenti, hogy az a, b, c hosszúságú szakaszokból háromszög szerkeszthető, a bizonyítandó állítás pedig a jól ismert
T=abc4R=s(s-a)(s-b)(s-c)
összefüggések felhasználásával a
4RT8(s-a)(s-b)(s-c)=8T2sformába írható.
(R a körülírt kör sugara, T a háromszög területe, s pedig a kerület fele.) A T=ϱs összefüggés felhasználásával rendezés után az
R2Ts=2ϱ
egyenlőtlenséget kapjuk (ϱ a beírt kör sugara), ez pedig minden háromszögben igaz, és egyenlőség akkor teljesül, ha a háromszög szabályos, azaz a=b=c.