Kezdőlap


Feladat:	Gy.2390	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elbert Judit
Füzet:	1987/október, 305 - 306. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Azonosságok, Geometriai egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/február: Gy.2390

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jobb oldalon álló szorzat tényezőit rendre $A$ , $B$ , $C$ -vel jelölve nyilván
$a = \frac{A + C}{2}$ , $b = \frac{A + B}{2}$ és $c = \frac{B + C}{2}$ , a bizonyítandó állítás pedig az

\begin{matrix} (A + B) (B + C) (C + A) ≧ 8 A B C \end{matrix}

(2)

alakot ölti.
Az új változók összege,

A + B + C = a + b + c

, ami pozitív és mind

A

-nál, mind

B

-nél, mind pedig

C

-nél nagyobb, hiszen

a

b

és

c

pozitív számok. Ez azt jelenti, hogy

A

B

és

C

közül legalább kettő pozitív. Ha tehát (2) jobb oldalán van nem pozitív tényező, akkor pontosan egy van, így ilyenkor (2) jobb oldala nem pozitív, a bizonyítandó egyenlőtlenség igaz.
Ha

A

B

és

C

mindegyike pozitív, akkor (2)-t alkalmasan rendezve az

\begin{matrix} A {(B - C)}^{2} + B {(C - A)}^{2} + C {(A - B)}^{2} ≧ 0 \end{matrix}

(3)

egyenlőtlenséghez jutunk, ami pedig nyilván teljesül. Az is kiolvasható, hogy (3)-ban pontosan akkor van egyenlőség, ha

A = B = C

, azaz

a

b

és

c

egyenlők.

Megjegyzések. 1. Abban az esetben, amikor

A

B

és

C

pozitív mennyiségek, (2) a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség felhasználásával is belátható, ha összeszorozzuk az

\begin{matrix} \frac{1}{2} (A + B) ≧ \sqrt[]{A B}, \frac{1}{2} (B - C) ≧ \sqrt[]{B C}, \frac{1}{2} (C + A) ≧ \sqrt[]{A C} \end{matrix}

egyenlőtlenségeket.
2. Pozitív

A

B

és

C

esetén geometriai jelentés tulajdonítható az (1) két oldalán álló mennyiségeknek. A feltétel ugyanis azt jelenti, hogy az

a

b

c

hosszúságú szakaszokból háromszög szerkeszthető, a bizonyítandó állítás pedig a jól ismert

\begin{matrix} T = \frac{a b c}{4 R} = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} \end{matrix}

összefüggések felhasználásával a

\begin{matrix} 4 R T ≧ 8 (s - a) (s - b) (s - c) = 8 \frac{T^{2}}{s} formába írható. \end{matrix}

(

R

a körülírt kör sugara,

T

a háromszög területe,

s

pedig a kerület fele.) A

T = ϱ s

összefüggés felhasználásával rendezés után az

\begin{matrix} R ≧ \frac{2 T}{s} = 2 ϱ \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk (

ϱ

a beírt kör sugara), ez pedig minden háromszögben igaz, és egyenlőség akkor teljesül, ha a háromszög szabályos, azaz

a = b = c