Kezdőlap


Feladat:	Gy.2323	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antosz B. , Bán Eszter , Baross Ágnes , Biró A. , Bordás F. , Bukszár J. , Csáki Cs. , Csom Gy. , Fleiner T. , Grósz T. , Hadnagy Éva , Hídvégi Z. , Hocsák S. , Jenei Judit , Jinda B. , Kálmán E. , Kalócska Katalin , Károlyi Gy. , Kecskés K. , Kégl Á. , Keleti T. , Keliger Gy. , Kovács G. , Maszlavér I. , Máté Nóra , Oláh Gy. , Paál B. , Perneczky L. , Schleur A. , Schöffer J. , Sustik M. , Szabó M. , Szöllősi Z. , Tavaszi G. , Tomacsek T. , Vagyon L. , Vasy A. , Veres E. , Veres L.
Füzet:	1986/november, 392 - 393. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Trapézok, Húrsokszögek, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/február: Gy.2323

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $P$ -nek, $Q$ -nak az oldalakra eső merőleges vetületeit $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , illetve $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ ; $P$ -nek az oldalakra vonatkozó tükörképeit pedig $P'_{1}$ , $P'_{2}$ , $P'_{3}$ .

P_{1} P_{2} P_{3} Q_{1} Q_{2} Q_{3}

húrhatszög, akkor a köré írt kör középpontja nem lehet más, mint a húrfelező merőlegesek metszéspontja. Mivel a

P Q P_{1} Q_{1},

P Q P_{2} Q_{2},

P Q P_{3} Q_{3}

négyszögek mindegyike derékszögű trapéz, ezért a

P_{1} Q_{1}

P_{2} Q_{2}

P_{3} Q_{3}

szakaszok felező merőlegesei tartalmazzák a

P Q

szakaszt

M

felezőpontját. A körülírt kör középpontja tehát csak ez az

M

pont lehet.
Tudjuk, hogy

P_{1} M = Q_{1} M

P_{2} M = Q_{2} M

és

P_{3} M = Q_{3} M

. Így állításunk igazolásához elegendő belátnunk a

P_{1} M = P_{2} M = P_{3} M

egyenlőséget.
Nagyítsuk kétszeresére a

P_{1} P_{2} P_{3}

háromszöget a

P

pontból! Ekkor

P_{i}

képe

P'_{i} (i = 1, 2, 3)

M

képe pedig

Q

. Azt kell igazolnunk, hogy

P'_{1} Q = P'_{2} Q = P'_{3} Q

, vagyis hogy a

P'_{1} P'_{2} P'_{3}

háromszög körülírt körének középpontja

Q

. A

P'_{1} P'_{2} A

háromszög egyenlő szárú, mert

P'_{1} A = P A = P'_{2} A

Q A

felezi a

P'_{1} A P'_{2}

szöget, mert

\begin{matrix} Q A P'_{1} ∢ = C A P'_{1} ∢ + C A Q ∢ = C A P ∢ + B A P ∢ = B A Q ∢ + B A P'_{2} ∢ = Q A P'_{2} ∢ \end{matrix}

a tükrözések miatt. Mivel az egyenlő szárú háromszögekben a szárak szögfelezője megegyezik az alap felező merőlegesével, ezért

Q A

P'_{1} P'_{2}

szakasz felező merőlegese. Ugyanígy

Q B

P'_{2} P'_{3}

Q C

pedig a

P'_{3} P'_{1}

szakasz felező merőlegese. Egy háromszögben az oldalak felező merőlegeseinek metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontját határozza meg, így

Q

valóban a

P'_{1} P'_{2} P'_{3}

háromszög köré írt kör középpontja, ahogyan kívántuk.
Ezzel a feladat állítását beláttuk.
Előfordulhat, hogy két vetület egybeesik, vagy

P

megegyezik

Q

-val. Ilyen esetben hatszögünk ötszöggé, illetve háromszöggé fajul.