Feladat: Gy.2323 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antosz B. ,  Bán Eszter ,  Baross Ágnes ,  Biró A. ,  Bordás F. ,  Bukszár J. ,  Csáki Cs. ,  Csom Gy. ,  Fleiner T. ,  Grósz T. ,  Hadnagy Éva ,  Hídvégi Z. ,  Hocsák S. ,  Jenei Judit ,  Jinda B. ,  Kálmán E. ,  Kalócska Katalin ,  Károlyi Gy. ,  Kecskés K. ,  Kégl Á. ,  Keleti T. ,  Keliger Gy. ,  Kovács G. ,  Maszlavér I. ,  Máté Nóra ,  Oláh Gy. ,  Paál B. ,  Perneczky L. ,  Schleur A. ,  Schöffer J. ,  Sustik M. ,  Szabó M. ,  Szöllősi Z. ,  Tavaszi G. ,  Tomacsek T. ,  Vagyon L. ,  Vasy A. ,  Veres E. ,  Veres L. 
Füzet: 1986/november, 392 - 393. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Trapézok, Húrsokszögek, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/február: Gy.2323

Az ABC háromszög egy belső pontja P. Ismeretes,* hogy ha az AP egyenest az A-ból, a BP-t a B-ből, a CP-t pedig a C-ből induló szögfelezőre tükrözzük, akkor a tükörkép egyenesek egy ponton mennek át. Jelöljük ezt a pontot Q-val. Bizonyítsuk be, hogy P-nek és Q-nak a háromszög oldalaira eső merőleges vetülete húrhatszöget alkot.
*A bizonyítás megtalálható Surányi László: A háromszög kevésbé ismert nevezetes pontjairól II. rész c. cikkben, KöMaL 34. évfolyam 8‐9. szám, 344. oldal. (1984. nov.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje P-nek, Q-nak az oldalakra eső merőleges vetületeit P1, P2, P3, illetve Q1, Q2, Q3; P-nek az oldalakra vonatkozó tükörképeit pedig P'1, P'2, P'3.

 
 

Ha P1P2P3Q1Q2Q3 húrhatszög, akkor a köré írt kör középpontja nem lehet más, mint a húrfelező merőlegesek metszéspontja. Mivel a PQP1Q1, PQP2Q2, PQP3Q3 négyszögek mindegyike derékszögű trapéz, ezért a P1Q1, P2Q2, P3Q3 szakaszok felező merőlegesei tartalmazzák a PQ szakaszt M felezőpontját. A körülírt kör középpontja tehát csak ez az M pont lehet.
Tudjuk, hogy P1M=Q1M, P2M=Q2M és P3M=Q3M. Így állításunk igazolásához elegendő belátnunk a P1M=P2M=P3M egyenlőséget.
Nagyítsuk kétszeresére a P1P2P3 háromszöget a P pontból! Ekkor Pi képe P'i(i=1,2,3), M képe pedig Q. Azt kell igazolnunk, hogy P'1Q=P'2Q=P'3Q, vagyis hogy a P'1P'2P'3 háromszög körülírt körének középpontja Q. A P'1P'2A háromszög egyenlő szárú, mert P'1A=PA=P'2A. QA felezi a P'1AP'2 szöget, mert
QAP'1=CAP'1+CAQ=CAP+BAP=BAQ+BAP'2=QAP'2
a tükrözések miatt. Mivel az egyenlő szárú háromszögekben a szárak szögfelezője megegyezik az alap felező merőlegesével, ezért QA a P'1P'2 szakasz felező merőlegese. Ugyanígy QB a P'2P'3, QC pedig a P'3P'1 szakasz felező merőlegese. Egy háromszögben az oldalak felező merőlegeseinek metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontját határozza meg, így Q valóban a P'1P'2P'3 háromszög köré írt kör középpontja, ahogyan kívántuk.
Ezzel a feladat állítását beláttuk.
Előfordulhat, hogy két vetület egybeesik, vagy P megegyezik Q-val. Ilyen esetben hatszögünk ötszöggé, illetve háromszöggé fajul.