Feladat: Gy.2283 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1986/február, 73 - 74. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Párhuzamos szelők tétele, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/szeptember: Gy.2283

Szerkesszük meg a derékszögű háromszöget, ha adva van az egyik befogónak az átfogón levő vetülete, és tudjuk, hogy a másik befogó hossza egyenlő a derékszög szögfelezőjének hosszával.

I. megoldás. A keresett derékszögű háromszög nem lehet egyenlő szárú, mert ekkor a derékszög szögfelezője merőleges az átfogóra, így egyik befogóval sem lehet egyenlő.
Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük tehát, hogy BC>AC (C a derékszögű csúcs).
Messe a szögfelező az AB átfogót F-ben. Mivel F az AB szakasz belső pontja, CF<CB, így a CF szögfelező csak a rövidebbik befogóval lehet egyenlő.
A BDC derékszögű háromszögben a BD befogó a feladat szövege szerint a BC vetületeként adott, DCB=DCF+FCB=452+45, a BDC háromszöget tehát meg tudjuk szerkeszteni.
 
 

Ezután a CD szakasz C végpontjában a B-vel ellentétes félsíkon szerkesztett 22,5-os szög szára metszi ki BD meghosszabbításából az A csúcsot. Látható, hogy a kapott háromszög eleget tesz a követelményeknek, ti. C-ben derékszögű, és C-beli szögfelezőjének hossza egyenlő a CA befogóval. Az adatokból tehát mindig szerkeszthető háromszög, és az egyértelmű.
 

II. megoldás. Megoldhatjuk a feladatot a hasonlóság alkalmazásával is. Először szerkesztünk egy egyenlő szárú A'C'F' háromszöget, amelynek C' csúcsszöge 45. Ha ezt kiegészítjük a C' csúcsban derékszögű háromszöggé, akkor a szerkesztendő háromszöghöz hasonló A'B'C háromszöget kapunk.
Alkalmazzunk most olyan hasonlósági transzformációt, amely a B'C' befogó B'D' vetületét az adott BD hosszúságú szakaszba viszi át!
Ezt a szerkesztést a párhuzamos szelők tétele alapján végezhetjük el ( ábra). A szögek ismeretében elegendő az AB átfogót megszerkesztenünk, ebből már könnyen megkaphatjuk a keresett háromszöget.