A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A keresett derékszögű háromszög nem lehet egyenlő szárú, mert ekkor a derékszög szögfelezője merőleges az átfogóra, így egyik befogóval sem lehet egyenlő. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük tehát, hogy ( a derékszögű csúcs). Messe a szögfelező az átfogót -ben. Mivel az szakasz belső pontja, , így a szögfelező csak a rövidebbik befogóval lehet egyenlő. A derékszögű háromszögben a befogó a feladat szövege szerint a vetületeként adott, , a háromszöget tehát meg tudjuk szerkeszteni.
Ezután a szakasz végpontjában a -vel ellentétes félsíkon szerkesztett -os szög szára metszi ki meghosszabbításából az csúcsot. Látható, hogy a kapott háromszög eleget tesz a követelményeknek, ti. -ben derékszögű, és -beli szögfelezőjének hossza egyenlő a befogóval. Az adatokból tehát mindig szerkeszthető háromszög, és az egyértelmű. II. megoldás. Megoldhatjuk a feladatot a hasonlóság alkalmazásával is. Először szerkesztünk egy egyenlő szárú háromszöget, amelynek csúcsszöge . Ha ezt kiegészítjük a csúcsban derékszögű háromszöggé, akkor a szerkesztendő háromszöghöz hasonló háromszöget kapunk. Alkalmazzunk most olyan hasonlósági transzformációt, amely a befogó vetületét az adott hosszúságú szakaszba viszi át! Ezt a szerkesztést a párhuzamos szelők tétele alapján végezhetjük el ( ábra). A szögek ismeretében elegendő az átfogót megszerkesztenünk, ebből már könnyen megkaphatjuk a keresett háromszöget.
|