Feladat: Gy.2277 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Binder Zsuzsanna ,  Biró J. ,  Buszkár J. ,  Csáki Cs. ,  Cynolter G. ,  Deák CS. ,  Deák T. ,  Dinnyés Enikő ,  Domokos M. ,  Gyuris V. ,  Habony Zs. ,  Hadnagy Éva ,  Hetényi Zs. ,  Horváth 335 A. ,  Illés T. ,  Kálmán E. ,  Kovács 123 L. ,  Kovácsvölgyi I. ,  László A. ,  Majoros L. ,  Makó B. ,  Pál G. ,  Tavaszi G. ,  Tornyi L. ,  Vindics P. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1986/január, 24 - 25. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szabályos testek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/május: Gy.2277

Bizonyítsuk be, hogy a szabályos oktaéder bármely síkmetszetének legfeljebb hat oldala van.

Jelöljük a metsző síkot S-sel. A síkmetszet konvex síkidom, éspedig sokszög, szakasz vagy egyetlen pont. Ha sokszög, akkor csúcsai S-nek és az oktaéder éleinek a metszéspontjai; illetve ha S tartalmazza az oktaéder egy e élét, akkor az él két végpontja lesz csúcsa a sokszögnek.
Vizsgáljuk először az utóbbi esetet! Ha S-nek van pontja az oktaéder e-vel párhuzamos e' élén is, akkor S nem más, mint az oktaéder e-n átmenő szimmetriasíkja, ekkor pedig négyzet a síkmetszet. Ha pedig nincs ilyen pont, akkor S legfeljebb két pontban metszheti annak a térbeli négyszögnek a kerületét, amely az oktaéder e-hez képest kitérő négy éléből áll (1. ábra). A síkmetszet ekkor legfeljebb négyszög, hisz az e-vel szomszédos éleken S-nek nem lehet belső pontja.
 
 
1. ábra
 

Ha S nem tartalmaz egyetlen élt sem, akkor bontsuk az ABCDEF oktaéder élvázát három, közös él nélküli négyzetre : ezek az ABCD, az AECF és a BEDF (2. ábra). Mivel S nem tartalmaz élt, bármely négyzet kerületét legfeljebb két pontban metszheti, így magának az oktaédernek az élvázát legfeljebb hat pontban. Ez azt jelenti, hogy a síkmetszet legfeljebb hatoldalú.
 
 
2. ábra
 

Megjegyzés. Látható, hogy a síkmetszet lehet három-, négy-, öt-, illetve hatoldalú sokszög, szakasz vagy pedig pont. Az állítás úgy is igaz, ha az oktaéder nem szabályos ugyan, de az ABCD, AECF és BEDF négyszögek síknégyszögek (és mind a 8 lapja háromszög alakú). Ha valamelyikük nem az, akkor lehetséges nyolcoldalú síkmetszet is (3. ábra).
 
 
3. ábra