|
Feladat: |
Gy.2277 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Binder Zsuzsanna , Biró J. , Buszkár J. , Csáki Cs. , Cynolter G. , Deák Csaba , Deák T. , Dinnyés Enikő , Domokos M. , Gyuris V. , Habony Zs. , Hadnagy Éva , Hetényi Zs. , Horváth 335 A. , Illés T. , Kálmán E. , Kovács 123 L. , Kovácsvölgyi I. , László A. , Majoros L. , Makó B. , Pál G. , Tavaszi G. , Tornyi L. , Vindics P. , Zaránd G. |
Füzet: |
1986/január,
24 - 25. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szabályos testek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1985/május: Gy.2277 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a metsző síkot -sel. A síkmetszet konvex síkidom, éspedig sokszög, szakasz vagy egyetlen pont. Ha sokszög, akkor csúcsai -nek és az oktaéder éleinek a metszéspontjai; illetve ha tartalmazza az oktaéder egy élét, akkor az él két végpontja lesz csúcsa a sokszögnek. Vizsgáljuk először az utóbbi esetet! Ha -nek van pontja az oktaéder -vel párhuzamos élén is, akkor nem más, mint az oktaéder -n átmenő szimmetriasíkja, ekkor pedig négyzet a síkmetszet. Ha pedig nincs ilyen pont, akkor legfeljebb két pontban metszheti annak a térbeli négyszögnek a kerületét, amely az oktaéder -hez képest kitérő négy éléből áll (1. ábra). A síkmetszet ekkor legfeljebb négyszög, hisz az -vel szomszédos éleken -nek nem lehet belső pontja.
1. ábra Ha nem tartalmaz egyetlen élt sem, akkor bontsuk az oktaéder élvázát három, közös él nélküli négyzetre : ezek az , az és a (2. ábra). Mivel nem tartalmaz élt, bármely négyzet kerületét legfeljebb két pontban metszheti, így magának az oktaédernek az élvázát legfeljebb hat pontban. Ez azt jelenti, hogy a síkmetszet legfeljebb hatoldalú.
2. ábra Megjegyzés. Látható, hogy a síkmetszet lehet három-, négy-, öt-, illetve hatoldalú sokszög, szakasz vagy pedig pont. Az állítás úgy is igaz, ha az oktaéder nem szabályos ugyan, de az , és négyszögek síknégyszögek (és mind a lapja háromszög alakú). Ha valamelyikük nem az, akkor lehetséges nyolcoldalú síkmetszet is (3. ábra).
3. ábra
|
|