Feladat: Gy.2275 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/november, 394. oldal  PDF file
Témakör(ök): Polinomok szorzattá alakítása, Síkgeomertiai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Koszinusztétel alkalmazása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/május: Gy.2275

Az ABC háromszög oldalai között az alábbi összefüggés áll fenn:
(a2+b2+c2)2=4b2(a2+c2)+3a2c2.(1)
Mekkora a β szög ?

Vonjuk ki (1) mindkét oldalából a jobb oldalon álló összeg első tagját! A bal oldal ezután így alakítható:
(a2+b2+c2)2-4b2(a2+c2)=(a2+c2)2+b4+2b2(a2+c2)-4b2(a2+c2)==(a2+c2-b2)2,
azaz (1) pontosan akkor teljesül, ha
(a2+c2-b2)2=3a2c2.(2)

Írjuk fel a koszinusztételt az ABC háromszög β ‐ azaz b-vel szemközti ‐ szögére:
b2=a2+c2-2accosβ,ahonnana2+c2-b2=2accosβ.



Ezt (2)-be helyettesítve
(2accosβ)2=4a2c2cos2β=3a2c2,
ahonnan
cos2β=34,hiszac0.

Innen cosβ=32 vagy pedig cosβ=-32 Az első esetben β=30, a második esetben pedig β=150. A háromszög β szöge tehát 30-os, vagy pedig 150-os. Mivel a megoldás lépései megfordíthatók, az is látszik, hogy ha egy háromszög β szöge 30 vagy pedig 150, akkor oldalaira ‐ a szokásos betűzés mellett ‐ fennáll (1).