Kezdőlap


Feladat:	Gy.2275	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/november, 394. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Koszinusztétel alkalmazása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/május: Gy.2275

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vonjuk ki (1) mindkét oldalából a jobb oldalon álló összeg első tagját! A bal oldal ezután így alakítható:

\begin{matrix} {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} - 4 b^{2} (a^{2} + c^{2}) & = {(a^{2} + c^{2})}^{2} + b^{4} + 2 b^{2} (a^{2} + c^{2}) - 4 b^{2} (a^{2} + c^{2}) = \\ = {(a^{2} + c^{2} - b^{2})}^{2}, \end{matrix}

azaz (1) pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} {(a^{2} + c^{2} - b^{2})}^{2} = 3 a^{2} c^{2} . \end{matrix}

(2)

Írjuk fel a koszinusztételt az

A B C

háromszög

β

‐ azaz

b

-vel szemközti ‐ szögére:

\begin{matrix} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β, ahonnan \\ a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 a c cos β . \end{matrix}

Ezt (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} {(2 a c cos β)}^{2} = 4 a^{2} c^{2} cos^{2} β = 3 a^{2} c^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} cos^{2} β = \frac{3}{4}, hisz a c \neq 0. \end{matrix}

Innen

cos β = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

vagy pedig

cos β = - \frac{\sqrt[]{3}}{2}

Az első esetben

β = 30^{\circ}

, a második esetben pedig

β = 150^{\circ}

. A háromszög

β

szöge tehát

30^{\circ}

-os vagy pedig

150^{\circ}

-os. Mivel a megoldás lépései megfordíthatók, az is látszik, hogy ha egy háromszög

β

szöge

30^{\circ}

vagy pedig

150^{\circ}

, akkor oldalaira ‐ a szokásos betűzés mellett ‐ fennáll (1).