Feladat: Gy.2269 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1986/január, 20 - 21. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Szabályos sokszög alapú gúlák, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlypont, Magasságpont, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Térbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/április: Gy.2269

Egy szabályos 3 oldalú gúla (alaplapja szabályos háromszög) köré írt gömb átmérője 9-szerese a gúla magasságának. Mekkora szöget zár be két oldallapja?

Legyen az ABCD gúla (alapja ABC) köré írt gömb középpontja O, a gúla magasságának talppontja M, a magasság hossza pedig 2 egység. Ekkor a feltétel szerint a gömb sugara 9 egység, így M az OD belső pontja.
 
 

Az OMB derékszögű háromszögből
BM=OB2-OM2=92-72=42.
Az MBD derékszögű háromszögből kapjuk, hogy a gúla oldaléle
BD=(42)2+22=6.
A gúla szabályos, így az ABC szabályos háromszög, továbbá M egyben a magasságpont és súlypont is ebben a háromszögben. Ezért BM=23AB32, ahonnan az alapél hosszára AB=46 adódik.
Húzzunk most merőlegeset B-n, illetve C-n keresztül az AD egyenesre. Az ADC és az ADB háromszögek tükrös helyzetűek az ADM síkra nézve, így ez a két merőleges ugyanabban a K pontban metszi az AD élt. Ismeretes, hogy két sík hajlásszöge a metszésvonalukra állított merőleges egyenesek szöge, így a keresett szög éppen a BKC.
 
 

Az ADB tompaszög, így K az AD-nek a D-n túli meghosszabbítására esik. A BKD és a BKA derékszögű háromszögekből
DK2+KB2=BD2=62,
illetve
(6+DK)2+KB2=AB2=(46)2.

Innen DK=2 és BK=42 adódik, azaz BK=BM, tehát a BKC és a BMC egyenlő szárú háromszögek egybevágók. Így BKC=BMC=120.
A gúla két oldallapja tehát 120-os szöget zár be.