Kezdőlap


Feladat:	Gy.2269	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1986/január, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Szabályos sokszög alapú gúlák, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlypont, Magasságpont, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Térbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/április: Gy.2269

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C D$ gúla (alapja $A B C$ ) köré írt gömb középpontja $O$ , a gúla magasságának talppontja $M$ , a magasság hossza pedig $2$ egység. Ekkor a feltétel szerint a gömb sugara $9$ egység, így $M$ az $O D$ belső pontja.

O M B

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} B M = \sqrt[]{O B^{2} - O M^{2}} = \sqrt[]{9^{2} - 7^{2}} = 4 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

M B D

derékszögű háromszögből kapjuk, hogy a gúla oldaléle

\begin{matrix} B D = \sqrt[]{{(4 \sqrt[]{2})}^{2} + 2^{2}} = 6. \end{matrix}

A gúla szabályos, így az

A B C

szabályos háromszög, továbbá

M

egyben a magasságpont és súlypont is ebben a háromszögben. Ezért

B M = \frac{2}{3} \cdot A B \frac{\sqrt[]{3}}{2}

, ahonnan az alapél hosszára

A B = 4 \sqrt[]{6}

adódik.
Húzzunk most merőlegeset

B

-n, illetve

C

-n keresztül az

A D

egyenesre. Az

A D C

és az

A D B

háromszögek tükrös helyzetűek az

A D M

síkra nézve, így ez a két merőleges ugyanabban a

K

pontban metszi az

A D

élt. Ismeretes, hogy két sík hajlásszöge a metszésvonalukra állított merőleges egyenesek szöge, így a keresett szög éppen a

B K C ∢

A D B ∢

tompaszög, így

K

A D

-nek a

D

-n túli meghosszabbítására esik. A

B K D

és a

B K A

derékszögű háromszögekből

\begin{matrix} D K^{2} + K B^{2} = B D^{2} = 6^{2}, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} {(6 + D K)}^{2} + K B^{2} = A B^{2} = {(4 \sqrt[]{6})}^{2} . \end{matrix}

Innen

D K = 2

és

B K = 4 \sqrt[]{2}

adódik, azaz

B K = B M

, tehát a

B K C

és a

B M C

egyenlő szárú háromszögek egybevágók. Így

B K C ∢ = B M C ∢ = 120^{\circ}

.
A gúla két oldallapja tehát

120^{\circ}

-os szöget zár be.