Kezdőlap


Feladat:	Gy.2256	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/január, 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Oszthatósági feladatok, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/március: Gy.2256

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell megmutatnunk, hogy $p$ akkor és csakis akkor összetett szám, ha vannak olyan $a$ , $b$ , $c$ , $d$ pozitív egész számok, amelyekre $p = a + b + c + d$ , és $a b = c d$ .
1. Ha léteznek ilyen $a$ , $b$ , $c$ , $d$ pozitív egész számok, akkor

\begin{matrix} p b = a b + b^{2} + c d + d b = c d + b^{2} + c b + d b = (c + b) (d + b) . \end{matrix}

p

prímszám lenne, akkor

p

vagy

(c + b)

-nek, vagy

(d + b)

-nek osztója lenne, de ez nem lehetséges, mert

p = a + b + c + d

miatt

p > (c + b)

és

p > (d + b)

. Tehát

p

összetett szám.
2. Ha

p

összetett szám, akkor vannak olyan

m

és

n

1

-nél nagyobb egész számok, amelyekre

p = m n

. Ekkor

\begin{matrix} p = (m - 1) (n - 1) + 1 + (m - 1) + (n - 1) . \end{matrix}

Ebben a felírásban az első két tag szorzata megegyezik a második két tag szorzatával. Minthogy mind a négy tag pozitív, ezzel igazoltuk, hogy létezik olyan felbontás, amilyet a feladatban megkívántunk.