Feladat: Gy.2256 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/január, 13 - 14. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Oszthatósági feladatok, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: Gy.2256

Legyen p 1-nél nagyobb egész szám. Bizonyítsuk be, hogy p akkor és csakis akkor prímszám, ha p bármely négy pozitív egész összegére való felbontásában semelyik két tag szorzata sem egyenlő a másik két tag szorzatával.

Azt kell megmutatnunk, hogy p akkor és csakis akkor összetett szám, ha vannak olyan a, b, c, d pozitív egész számok, amelyekre p=a+b+c+d, és ab=cd.
1. Ha léteznek ilyen a, b, c, d pozitív egész számok, akkor
pb=ab+b2+cd+db=cd+b2+cb+db=(c+b)(d+b).

Ha p prímszám lenne, akkor p vagy (c+b)-nek, vagy (d+b)-nek osztója lenne, de ez nem lehetséges, mert p=a+b+c+d miatt p>(c+b) és p>(d+b). Tehát p összetett szám.
2. Ha p összetett szám, akkor vannak olyan m és n 1-nél nagyobb egész számok, amelyekre p=mn. Ekkor
p=(m-1)(n-1)+1+(m-1)+(n-1).
Ebben a felírásban az első két tag szorzata megegyezik a második két tag szorzatával. Minthogy mind a négy tag pozitív, ezzel igazoltuk, hogy létezik olyan felbontás, amilyet a feladatban megkívántunk.