A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a hatszög oldalát -val, a kör sugarát -rel. Eszerint a csúcsok köré írt körök sugara , és a feltétel szerint , ahonnan adódik. Másrészt kisebb vagy egyenlő, mint a hatszögbe írt kör sugara, .
Jelöljük a hatszög lefedett részének területét -vel. Ez hét részből áll: a körből és 6 db egybevágó -os körcikkből, amelyeknek középpontja a hatszög egy-egy csúcsa és sugara . Mivel , a körcikkek nem nyúlnak egymásba, s így | |
Ennek a másodfokú függvénynek akkor van minimuma, ha , s ez a kívánt intervallumba esik. Másrészt ha értéke -től -ig fut, értéke csökken, ha pedig -tól a másik határig, -ig fut, akkor nő. Így legnagyobb értékét a két szélső hely valamelyikén veszi fel. S mivel azért ez a hely . A lefedett rész területe tehát akkor minimális, ha , vagyis a középpont körül rajzolt kör sugara kétharmada a hatszög oldalának, és akkor maximális, ha a hatszög beírt köre.
Megjegyzés. Megoldóink közül többen észrevették, hogy a feladat általánosabb megfogalmazásban már szerepelt lapunkban (1976. évi 52. kötet, 2. szám, 63. oldal, F. 2004.). Ott az volt a feladat, hogy szabályos -szög esetén szerkesszük meg azt a kört, amelyre hasonló feltételek mellett a lefedett rész területe minimális, ill. maximális. Az ottani megoldás bizonyos szempontból több, mint amit esetére kívántunk, a mi feladatunkra a megoldás kiolvasható onnan. Mégsem fogadtuk el azokat a dolgozatokat, amelyekben kizárólag az állt, hogy a feladat megoldása általánosabb formában megtalálható itt és itt, de a feladat kérdésére (mármint hogy mekkora sugara, ha a lefedett terület legkisebb, ill. legnagyobb) nem adtak választ. Ez ugyanis az idézett megoldásban nem szerepel. |