Kezdőlap


Feladat:	Gy.2220	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1985/október, 305 - 306. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/október: Gy.2220

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a hatszög oldalát $a$ -val, a $k$ kör sugarát $r$ -rel. Eszerint a csúcsok köré írt körök sugara $a - r$ , és a feltétel szerint $2 (a - r) ≦ a$ , ahonnan $r ≧ \frac{1}{2} a$ adódik. Másrészt $r$ kisebb vagy egyenlő, mint a hatszögbe írt kör sugara, $a \sqrt[]{3} / 2$ .

Jelöljük a hatszög lefedett részének területét

T

-vel. Ez hét részből áll: a

k

körből és 6 db egybevágó

120^{\circ}

-os körcikkből, amelyeknek középpontja a hatszög egy-egy csúcsa és sugara

a - r

. Mivel

a - r ≦ \frac{a}{2}

, a körcikkek nem nyúlnak egymásba, s így

\begin{matrix} T = r^{2} π + 6 \frac{{(a - r)}^{2} π}{3} = 3 π {(r - \frac{2}{3} a)}^{2} + \frac{2 π}{3} a^{2} . \end{matrix}

Ennek a másodfokú függvénynek akkor van minimuma, ha

r = 2 a / 3

, s ez a kívánt intervallumba esik.
Másrészt ha

r

értéke

a / 2

-től

2 a / 3

-ig fut,

T

értéke csökken, ha pedig

2 a / 3

-tól a másik határig,

a \sqrt[]{3} / 2

-ig fut, akkor

T

nő. Így

T

legnagyobb értékét a két szélső hely valamelyikén veszi fel. S mivel

\begin{matrix} | \frac{a \sqrt[]{3}}{2} - \frac{2}{3} a | > | \frac{a}{2} - \frac{2}{3} a |, \end{matrix}

azért ez a hely

r = a \sqrt[]{3} / 2

.
A lefedett rész területe tehát akkor minimális, ha

r = 2 a / 3

, vagyis a középpont körül rajzolt kör sugara kétharmada a hatszög oldalának, és akkor maximális, ha

k

a hatszög beírt köre.

Megjegyzés. Megoldóink közül többen észrevették, hogy a feladat általánosabb megfogalmazásban már szerepelt lapunkban (1976. évi 52. kötet, 2. szám, 63. oldal, F. 2004.). Ott az volt a feladat, hogy szabályos

n

-szög esetén szerkesszük meg azt a kört, amelyre hasonló feltételek mellett a lefedett rész területe minimális, ill. maximális. Az ottani megoldás bizonyos szempontból több, mint amit

n = 6

esetére kívántunk, a mi feladatunkra a megoldás kiolvasható onnan. Mégsem fogadtuk el azokat a dolgozatokat, amelyekben kizárólag az állt, hogy a feladat megoldása általánosabb formában megtalálható itt és itt, de a feladat kérdésére (mármint hogy mekkora

k

sugara, ha a lefedett terület legkisebb, ill. legnagyobb) nem adtak választ. Ez ugyanis az idézett megoldásban nem szerepel.