Feladat: Gy.2220 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1985/október, 305 - 306. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/október: Gy.2220

Adott szabályos hatszög középpontja körül rajzoljunk olyan k kört, amelynek sugara legfeljebb akkora, mint a hatszög oldalait érintő kör sugara, majd a hatszög minden csúcsa körül olyan kört, amely k-t érinti és átmérője legfeljebb akkora, mint a hatszög oldala. A 7 körlap együtt lefedi a hatszög egy részét. Mekkora a k kör sugara, ha a lefedett rész területe a lehető legkisebb, ill. legnagyobb?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a hatszög oldalát a-val, a k kör sugarát r-rel. Eszerint a csúcsok köré írt körök sugara a-r, és a feltétel szerint 2(a-r)a, ahonnan r12a adódik. Másrészt r kisebb vagy egyenlő, mint a hatszögbe írt kör sugara, a3/2.

 
 

Jelöljük a hatszög lefedett részének területét T-vel. Ez hét részből áll: a k körből és 6 db egybevágó 120-os körcikkből, amelyeknek középpontja a hatszög egy-egy csúcsa és sugara a-r. Mivel a-ra2, a körcikkek nem nyúlnak egymásba, s így
T=r2π+6(a-r)2π3=3π(r-23a)2+2π3a2.

Ennek a másodfokú függvénynek akkor van minimuma, ha r=2a/3, s ez a kívánt intervallumba esik.
Másrészt ha r értéke a/2-től 2a/3-ig fut, T értéke csökken, ha pedig 2a/3-tól a másik határig, a3/2-ig fut, akkor T nő. Így T legnagyobb értékét a két szélső hely valamelyikén veszi fel. S mivel
|a32-23a|>|a2-23a|,
azért ez a hely r=a3/2.
A lefedett rész területe tehát akkor minimális, ha r=2a/3, vagyis a középpont körül rajzolt kör sugara kétharmada a hatszög oldalának, és akkor maximális, ha k a hatszög beírt köre.
 

Megjegyzés. Megoldóink közül többen észrevették, hogy a feladat általánosabb megfogalmazásban már szerepelt lapunkban (1976. évi 52. kötet, 2. szám, 63. oldal, F. 2004.). Ott az volt a feladat, hogy szabályos n-szög esetén szerkesszük meg azt a kört, amelyre hasonló feltételek mellett a lefedett rész területe minimális, ill. maximális. Az ottani megoldás bizonyos szempontból több, mint amit n=6 esetére kívántunk, a mi feladatunkra a megoldás kiolvasható onnan. Mégsem fogadtuk el azokat a dolgozatokat, amelyekben kizárólag az állt, hogy a feladat megoldása általánosabb formában megtalálható itt és itt, de a feladat kérdésére (mármint hogy mekkora k sugara, ha a lefedett terület legkisebb, ill. legnagyobb) nem adtak választ. Ez ugyanis az idézett megoldásban nem szerepel.