Feladat: Gy.2203 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/november, 384 - 385. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/május: Gy.2203

Egy háromszögben a szögek mértékszámai számtani sorozatot alkotnak. Ugyancsak számtani sorozatot alkotnak az oldalak reciprokai. Határozzuk meg a háromszög szögeit!

Jelöljük a háromszög szögeit a szokásos módon α, β és γ-val, ahol αβγ. A szögek mértékszámai számtani sorozatot alkotnak és α+β+γ=180, tehát β=60.
Legyen az A-ból a BC oldalra bocsátott merőleges talppontja T. Az ATB derékszögű háromszög B-nél levő szöge 60-os, tehát
BT=c2,AT=32c.
Így az ACT derékszögű háromszögből
(32c)2+(a-c2)2=b2,
vagyis a2+c2-ac=b2, ahonnan ac-vel osztva és rendezve
ac+ca=b2ac+1=1+14(ba+bc)2-14(ba-bc)2.(1)

Mivel abc és az oldalak reciprokai is számtani sorozatot alkotnak, azért
1b=12(1a+1c),
ahonnan ba+bc=2. Ezt (1)-be helyettesítve
ac+ca=2-14(ba-bc)22.(2)

Egy pozitív szám és reciprokának összege azonban mindig legalább 2 és egyenlőség csak akkor áll, ha a szám éppen 1. Így (2) csak úgy teljesülhet ha ac=1, azaz a=c. Ám ekkor abc miatt a háromszög mindhárom oldala egyenlő. A háromszög szabályos, a szögek mind 60-osak, és a szögek, valamint az oldalak reciprokai is számtani sorozatot alkotnak.