Kezdőlap


Feladat:	Gy.2203	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/november, 384 - 385. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/május: Gy.2203

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög szögeit a szokásos módon $α$ , $β$ és $γ$ -val, ahol $α ≦ β ≦ γ$ . A szögek mértékszámai számtani sorozatot alkotnak és $α + β + γ = 180^{\circ}$ , tehát $β = 60^{\circ} .$
Legyen az $A$ -ból a $B C$ oldalra bocsátott merőleges talppontja $T$ . Az $A T B$ derékszögű háromszög $B$ -nél levő szöge $60^{\circ}$ -os, tehát

\begin{matrix} B T = \frac{c}{2}, A T = \frac{\sqrt[]{3}}{2} c . \end{matrix}

Így az

A C T

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} {(\frac{\sqrt[]{3}}{2} c)}^{2} + {(a - \frac{c}{2})}^{2} = b^{2}, \end{matrix}

vagyis

a^{2} + c^{2} - a c = b^{2}

, ahonnan

a c

-vel osztva és rendezve

\begin{matrix} \frac{a}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b^{2}}{a c} + 1 = 1 + \frac{1}{4} {(\frac{b}{a} + \frac{b}{c})}^{2} - \frac{1}{4} {(\frac{b}{a} - \frac{b}{c})}^{2} . \end{matrix}

(1)

Mivel

a ≦ b ≦ c

és az oldalak reciprokai is számtani sorozatot alkotnak, azért

\begin{matrix} \frac{1}{b} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c}), \end{matrix}

ahonnan

\frac{b}{a} + \frac{b}{c} = 2

. Ezt (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} \frac{a}{c} + \frac{c}{a} = 2 - \frac{1}{4} {(\frac{b}{a} - \frac{b}{c})}^{2} ≦ 2. \end{matrix}

(2)

Egy pozitív szám és reciprokának összege azonban mindig legalább

2

, és egyenlőség csak akkor áll, ha a szám éppen

1

. Így (2) csak úgy teljesülhet, ha

\frac{a}{c} = 1

, azaz

a = c

. Ám ekkor

a ≦ b ≦ c

miatt a háromszög mindhárom oldala egyenlő. A háromszög szabályos, a szögek mind

60^{\circ}

-osak, és a szögek, valamint az oldalak reciprokai is számtani sorozatot alkotnak.