Feladat: Gy.2201 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bóna M. ,  Csizmadia T. ,  Czuprák E. ,  Horváth 572 L. ,  Klug Róbert ,  Ligeti Z. ,  Lipták 182 L. ,  Regős G. ,  Sáhi A. ,  Szederkényi J. ,  Vindics P. 
Füzet: 1985/május, 210 - 211. oldal  PDF file
Témakör(ök): Azonosságok, Egyenlőtlenségek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/május: Gy.2201

Andi bélyeggyűjteményében bármilyen megadott értéknél drágább bélyegből legfeljebb kétszer annyi darab van, mint Bandi gyűjteményében. Bizonyítsuk be, hogy Andi gyűjteménye legfeljebb kétszer olyan értékes, mint Bandié.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Gondoljuk el, hogy Andi és Bandi nap nap után elmegy a Filatéliába és Bandi megmaradt gyűjteményének (egyik) legértékesebb darabját, Andi pedig a még meglevők közül a legértékesebb kettőt adja el. Ezt csinálják addig, míg összes bélyegük el nem fogy. Állítjuk, hogy minden nap Andi legfeljebb kétszeresét kapja annak az összegnek, mint amit Bandi kap, ebből a feladat állítása azonnal következik.
Első nap ez így van, hiszen a feltétel szerint Bandi legértékesebb bélyegénél nagyobb értékű Andinál sem lehet, és ugyanolyan értékűből is legfeljebb kettő.
Vegyük még észre, hogy az első napi eladások után maradt gyűjteményekre is igaz a feladat szövegében mondott feltétel. Ha most valamilyen é-re é-nél drágább bélyegből Andinál a, Bandinál b darab van, akkor azt kell látnunk, hogy a2b. Persze csak az az eset érdekes, ha a0. Andi két legértékesebb bélyegét adta el, tehát ekkor eredetileg a+2 darab é-nél értékesebb bélyege volt, Bandinak pedig b vagy b+1 aszerint, hogy Bandi eladott bélyege é-nél értékesebb volt-e vagy sem. Így a+22b vagy a+22(b+1), ahonnan mindenképpen a2b, ahogyan kívántuk.
Tehát Andi és Bandi másnap ugyanolyan feltételekkel mennek bélyeget eladni, mint az első nap. Andi második nap is legfeljebb kétszer annyit kap bélyegeiért, mint Bandi; ugyanígy a harmadik napon is stb.
Előbb-utóbb mindkét gyűjtemény elfogy, s mivel minden nap Andi legfeljebb kétszer annyit kap, mint Bandi, gyűjteménye is legfeljebb kétszer olyan értékes.

 
II. megoldás. A bizonyítás egy érdekes algebrai azonosság ‐ az úgynevezett Abel-féle átrendezés ‐ felhasználásával könnyen elvégezhető.
Jelölje a két gyűjteményben szereplő bélyegértékeket nagyság szerint növekvő sorrendben 0=e0<e1<e2<...<en, és minden i0-ra az ei értékű bélyegből legyen Andi gyűjteményében ai, Bandiéban pedig bi darab. Itt ai és bi egyike esetleg 0. Andi gyűjteményének értékét A-val, Bandiét B-vel jelölve
A=a1e1+...+anen,B=b1e1+...+bnen.
Könnyen ellenőrizhető, hogy fennállnak az alábbi azonosságok (e0=0 volt !)
A=(a1+...+an)(e1-e0)+...+(ai+...+an)(ei-ei-1)+...+an(en-en-1)(1)B=(b1+...+bn)(e1-e0)+...+(bi+...+bn)(ei-ei-1)+...+bn(en-en-1)(2)


A és B fenti alakjában a szorzatok első tényezői rendre a 0,e1,e2,...,en-nél drágább bélyegek számai a két gyűjteményben, így a feltétel szerint
ai+ai+1+...+an2(bi+bi+1+...+bn)
minden i-re.
Mivel ei>ei-1, az egyenlőtlenség mindkét oldalát a pozitív (ei-ei-1)-gyel szorozva
(ai+...+an)(ei-ei-1)2(bi+...+bn)(ei-ei-1)i=1,2,...,n.

Ezeket összegezve (1) és (2) alapján éppen a bizonyítandó állítás adódik.
 

Megjegyzés. Az említett átalakítás ‐ (1), illetve (2) ‐ Niels Henrik Abel (1802-1829), a fiatalon elhunyt kiváló norvég matematikus nevéhez fűződik. Abel alapvető eredményeket ért el az analízis és az algebra területén, többek között ő adott elsőként teljes bizonyítást arra, hogy az ötöd- és magasabbfokú egyenletek általában nem oldhatók meg algebrai úton, tehát a gyökök nem fejezhetők ki az együtthatók és véges sok racionális konstans felhasználásával a négy alapművelet és a gyökvonás segítségével.