Kezdőlap


Feladat:	Gy.2201	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bóna M. , Csizmadia T. , Czuprák E. , Horváth 572 L. , Klug Róbert , Ligeti Z. , Lipták 182 L. , Regős G. , Sáhi A. , Szederkényi J. , Vindics P.
Füzet:	1985/május, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Egyenlőtlenségek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/május: Gy.2201

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Gondoljuk el, hogy Andi és Bandi nap nap után elmegy a Filatéliába és Bandi megmaradt gyűjteményének (egyik) legértékesebb darabját, Andi pedig a még meglevők közül a legértékesebb kettőt adja el. Ezt csinálják addig, míg összes bélyegük el nem fogy. Állítjuk, hogy minden nap Andi legfeljebb kétszeresét kapja annak az összegnek, mint amit Bandi kap, ebből a feladat állítása azonnal következik.
Első nap ez így van, hiszen a feltétel szerint Bandi legértékesebb bélyegénél nagyobb értékű Andinál sem lehet, és ugyanolyan értékűből is legfeljebb kettő.
Vegyük még észre, hogy az első napi eladások után maradt gyűjteményekre is igaz a feladat szövegében mondott feltétel. Ha most valamilyen $é$ -re $é$ -nél drágább bélyegből Andinál $a$ , Bandinál $b$ darab van, akkor azt kell látnunk, hogy $a \leq 2 b$ . Persze csak az az eset érdekes, ha $a \neq 0$ . Andi két legértékesebb bélyegét adta el, tehát ekkor eredetileg $a + 2$ darab $é$ -nél értékesebb bélyege volt, Bandinak pedig $b$ vagy $b + 1$ aszerint, hogy Bandi eladott bélyege $é$ -nél értékesebb volt-e vagy sem. Így $a + 2 \leq 2 b$ vagy $a + 2 \leq 2 (b + 1)$ , ahonnan mindenképpen $a ≦ 2 b$ , ahogyan kívántuk.
Tehát Andi és Bandi másnap ugyanolyan feltételekkel mennek bélyeget eladni, mint az első nap. Andi második nap is legfeljebb kétszer annyit kap bélyegeiért, mint Bandi; ugyanígy a harmadik napon is stb.
Előbb-utóbb mindkét gyűjtemény elfogy, s mivel minden nap Andi legfeljebb kétszer annyit kap, mint Bandi, gyűjteménye is legfeljebb kétszer olyan értékes.

II. megoldás. A bizonyítás egy érdekes algebrai azonosság ‐ az úgynevezett Abel-féle átrendezés ‐ felhasználásával könnyen elvégezhető.
Jelölje a két gyűjteményben szereplő bélyegértékeket nagyság szerint növekvő sorrendben

0 = e_{0} < e_{1} < e_{2} < ... < e_{n}

, és minden

i \geq 0

-ra az

e_{i}

értékű bélyegből legyen Andi gyűjteményében

a_{i}

, Bandiéban pedig

b_{i}

darab. Itt

a_{i}

és

b_{i}

egyike esetleg

0

. Andi gyűjteményének értékét

A

-val, Bandiét

B

-vel jelölve

\begin{matrix} A = a_{1} e_{1} + ... + a_{n} e_{n}, \\ B = b_{1} e_{1} + ... + b_{n} e_{n} . \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy fennállnak az alábbi azonosságok (

e_{0} = 0

volt !)

\begin{matrix} A = (a_{1} + ... + a_{n}) (e_{1} - e_{0}) + ... + (a_{i} + ... + a_{n}) (e_{i} - e_{i - 1}) + ... + a_{n} (e_{n} - e_{n - 1}) & (1) \\ B = (b_{1} + ... + b_{n}) (e_{1} - e_{0}) + ... + (b_{i} + ... + b_{n}) (e_{i} - e_{i - 1}) + ... + b_{n} (e_{n} - e_{n - 1}) & (2) \end{matrix}

A

és

B

fenti alakjában a szorzatok első tényezői rendre a

0, e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}

-nél drágább bélyegek számai a két gyűjteményben, így a feltétel szerint

\begin{matrix} a_{i} + a_{i + 1} + ... + a_{n} \leq 2 (b_{i} + b_{i + 1} + ... + b_{n}) \end{matrix}

minden

i

-re.
Mivel

e_{i} > e_{i - 1}

, az egyenlőtlenség mindkét oldalát a pozitív

(e_{i} - e_{i - 1})

-gyel szorozva

\begin{matrix} (a_{i} + ... + a_{n}) (e_{i} - e_{i - 1}) \leq 2 (b_{i} + ... + b_{n}) (e_{i} - e_{i - 1}) i = 1, 2, ..., n . \end{matrix}

Ezeket összegezve (1) és (2) alapján éppen a bizonyítandó állítás adódik.

Megjegyzés. Az említett átalakítás ‐ (1), illetve (2) ‐ Niels Henrik Abel (1802-1829), a fiatalon elhunyt kiváló norvég matematikus nevéhez fűződik. Abel alapvető eredményeket ért el az analízis és az algebra területén, többek között ő adott elsőként teljes bizonyítást arra, hogy az ötöd- és magasabbfokú egyenletek általában nem oldhatók meg algebrai úton, tehát a gyökök nem fejezhetők ki az együtthatók és véges sok racionális konstans felhasználásával a négy alapművelet és a gyökvonás segítségével.