Feladat: Gy.2197 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1985/október, 303 - 304. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vetítések, Magasságpont, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/április: Gy.2197

Egy tetraéder szemben levő élei páronként egyenlő hosszúak. Bizonyítsuk be, hogy akkor az oldallapjai hegyesszögű háromszögek.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen ABC a tetraéder alaplapja, D a negyedik csúcs. Vágjuk fel a tetraéder palástját a D csúcsból kiinduló élek mentén, és hajtsuk le a tetraéder oldallapjait az ABC alapsíkba.

 
 
1. ábra
 

 
 
2. ábra
 

Legyen D1 az A-val szemközti, D2 a B-vel, D3 a C-vel szemközti csúcs (2. ábra). Mivel a tetraéder szemközti élei egyenlő hosszúak, minden lapon minden él és minden szög előfordul, így D1D2D3 olyan háromszög lesz, melynek az AB, AC, BC oldalak a középvonalai.
Jelölje D' a D csúcsnak az alapsíkra való vetületét. Azt állítjuk, hogy D' a D1D2D3 háromszög magasságpontja. Valóban, pl. az ACD lap lehajtása során D végig egy AC-re merőleges síkban mozog, s ez az ABC síkot az AC-re merőleges egyenesben metszi. D'D2 és AC metszéspontja legyen T2. Nyilván D' közelebb van az AC egyeneshez, mint D2, hiszen D nincs az ABC síkjában, így DT2-nek D'T2 vetülete kisebb, mint a valódi D2T2 hossza. Ugyanezt elmondhatjuk a másik két lap lehajtása esetén is. Mindebből viszont következik, hogy a D' magasságpont a D1D2D3 háromszög belsejébe esik, vagyis D1D2D3, és ezzel együtt  ABC hegyesszögű háromszög. Az állítást bizonyítottuk.