Kezdőlap


Feladat:	Gy.2197	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1985/október, 303 - 304. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Magasságpont, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/április: Gy.2197

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C$ a tetraéder alaplapja, $D$ a negyedik csúcs. Vágjuk fel a tetraéder palástját a $D$ csúcsból kiinduló élek mentén, és hajtsuk le a tetraéder oldallapjait az $A B C$ alapsíkba.

1. ábra

2. ábra

Legyen

D_{1}

A

-val szemközti,

D_{2}

B

-vel,

D_{3}

C

-vel szemközti csúcs (2. ábra). Mivel a tetraéder szemközti élei egyenlő hosszúak, minden lapon minden él és minden szög előfordul, így

D_{1} D_{2} D_{3}

olyan háromszög lesz, melynek az

A B

A C

B C

oldalak a középvonalai.
Jelölje

D'

D

csúcsnak az alapsíkra való vetületét. Azt állítjuk, hogy

D'

D_{1} D_{2} D_{3}

háromszög magasságpontja. Valóban, pl. az

A C D

lap lehajtása során

D

végig egy

A C

-re merőleges síkban mozog, s ez az

A B C

síkot az

A C

-re merőleges egyenesben metszi.

D' D_{2}

és

A C

metszéspontja legyen

T_{2}

. Nyilván

D'

közelebb van az

A C

egyeneshez, mint

D_{2}

, hiszen

D

nincs az

A B C

síkjában, így

D T_{2}

-nek

D' T_{2}

vetülete kisebb, mint a valódi

D_{2} T_{2}

hossza. Ugyanezt elmondhatjuk a másik két lap lehajtása esetén is. Mindebből viszont következik, hogy a

D'

magasságpont a

D_{1} D_{2} D_{3}

háromszög belsejébe esik, vagyis

D_{1} D_{2} D_{3}

, és ezzel együtt

A B C

hegyesszögű háromszög. Az állítást bizonyítottuk.