A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a tetraéder alaplapja, a negyedik csúcs. Vágjuk fel a tetraéder palástját a csúcsból kiinduló élek mentén, és hajtsuk le a tetraéder oldallapjait az alapsíkba.
1. ábra
2. ábra Legyen az -val szemközti, a -vel, a -vel szemközti csúcs (2. ábra). Mivel a tetraéder szemközti élei egyenlő hosszúak, minden lapon minden él és minden szög előfordul, így olyan háromszög lesz, melynek az , , oldalak a középvonalai. Jelölje a csúcsnak az alapsíkra való vetületét. Azt állítjuk, hogy a háromszög magasságpontja. Valóban, pl. az lap lehajtása során végig egy -re merőleges síkban mozog, s ez az síkot az -re merőleges egyenesben metszi. és metszéspontja legyen . Nyilván közelebb van az egyeneshez, mint , hiszen nincs az síkjában, így -nek vetülete kisebb, mint a valódi hossza. Ugyanezt elmondhatjuk a másik két lap lehajtása esetén is. Mindebből viszont következik, hogy a magasságpont a háromszög belsejébe esik, vagyis , és ezzel együtt hegyesszögű háromszög. Az állítást bizonyítottuk.
|