Feladat: Gy.2194 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bánkövi Johanna ,  Benczúr A. ,  Buga Márta ,  Csizmazia T. ,  Csott R. ,  Cynolter G. ,  Dinnyés Enikő ,  Dringó L. ,  Fabó Gy. ,  Fodróczy T. ,  Habon Zs. ,  Hetényi Zs. ,  Horváth 335 A. ,  Horváth E. ,  Hruby E. ,  Kardos T. ,  Kerey P. ,  Kovács 123 L. ,  Kristóf Á. ,  Lipták L. ,  Majoros L. ,  Makó B. ,  Máté Nóra ,  Matievics I. ,  Misuth Zsuzsanna ,  Nagy 888 Sz. ,  Pál G. ,  Papp L. ,  Szabó 401 Gy. ,  Szabó 484 P. ,  Szakállas Sz. ,  Szalay Gy. ,  Szederkényi Judit ,  Tornyi L. ,  Tóth Herta ,  Tóth Katalin ,  Vadász D. ,  Varga Tünde ,  Vargha Júlia 
Füzet: 1984/november, 389. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/április: Gy.2194

Az r sugarú k kör középpontja O. Tükrözzük O-t a kör egy r hosszúságú AB húrjára, tükörképét jelölje D. Bizonyítsuk be, hogy a körvonal tetszőleges C pontjára CA2+CB2=CD2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Világos, hogy mind az AOB, mind az ADB háromszög szabályos. Így ha a C pont egybeesik A-val vagy B-vel, akkor a CA2+CB2=CD2 összefüggés teljesül. Feltehetjük tehát, hogy C a körnek A-tól és B-től különböző pontja.

 
 
1. ábra
 

Válasszuk meg a betűzést úgy, hogy az AOB (irányított) szög +60-os legyen (1. ábra), majd forgassuk el az ACD háromszöget az A pont körül +60-kal. Ez a forgatás a D pontot B-be, a C-t pedig valamilyen E pontba viszi. A forgatás miatt az ACD háromszög egybevágó az AEB háromszöggel, tehát CD=EB és CA=EA, továbbá CAE=+60, ezért a CAE háromszög szabályos: CA=CE és ECA=+60.
A CA=CE és CD=EB alapján a kérdéses CA2+CB2=CD2 összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha
CE2+CB2=EB2.

Itt a BCE háromszög oldalai állnak, tehát a feladat megoldásához a Pitagorasz-tétel alapján elegendő azt belátni, hogy a BCE háromszög C csúcsában derékszög van. A továbbiakban ezt bizonyítjuk.
Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a C pont a kör hosszabb vagy rövidebb AB ívére esik. Az első esetben (1. ábra) az AB ívhez tartozó ACB kerületi szög fele az AOB=60 középponti szögnek, tehát ECB=ECA++ACB=60+30=90, ahogyan kívántuk.
 
 
2. ábra
 

A másik esetben (2. ábra) viszont az ACB kiegészítő szöge a középponti szög felének, vagyis ACB=180-30=150, és ECB=ACB-ACE=150-60=90.
A BCE háromszög tehát valóban derékszögű, amivel a feladat állítását is beláttuk.